【題目】如圖,在矩形OABC中,點O為原點,點A的坐標為(0,8),點C的坐標為(6,0).拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過點A、C,與AB交于點D.
(1)求拋物線的函數(shù)解析式;
(2)點P為線段BC上一個動點(不與點C重合),點Q為線段AC上一個動點,AQ=CP,連接PQ,設CP=m,△CPQ的面積為S.
①求S關于m的函數(shù)表達式;
②當S最大時,在拋物線y=﹣x2+bx+c的對稱軸l上,若存在點F,使△DFQ為直角三角形,請直接寫出所有符合條件的點F的坐標;若不存在,請說明理由.
【答案】(1)y=﹣x2+x+8;(2)①S=﹣m2+3m;②滿足條件的點F共有四個,坐標分別為F1(,8),F(xiàn)2(,4),F(xiàn)3(,6+),F(xiàn)4(,6﹣).
【解析】
(1)將A、C兩點坐標代入拋物線y=-x2+bx+c,即可求得拋物線的解析式;
(2)①先用m表示出QE的長度,進而求出三角形的面積S關于m的函數(shù);
②直接寫出滿足條件的F點的坐標即可,注意不要漏寫.
解:(1)將A、C兩點坐標代入拋物線,得 ,
解得: ,
∴拋物線的解析式為y=﹣x2+x+8;
(2)①∵OA=8,OC=6,
∴AC= =10,
過點Q作QE⊥BC與E點,則sin∠ACB = = =,
∴ =,
∴QE=(10﹣m),
∴S=CPQE=m×(10﹣m)=﹣m2+3m;
②∵S=CPQE=m×(10﹣m)=﹣m2+3m=﹣(m﹣5)2+,
∴當m=5時,S取最大值;
在拋物線對稱軸l上存在點F,使△FDQ為直角三角形,
∵拋物線的解析式為y=﹣x2+x+8的對稱軸為x=,
D的坐標為(3,8),Q(3,4),
當∠FDQ=90°時,F1(,8),
當∠FQD=90°時,則F2(,4),
當∠DFQ=90°時,設F(,n),
則FD2+FQ2=DQ2,
即+(8﹣n)2++(n﹣4)2=16,
解得:n=6± ,
∴F3(,6+),F(xiàn)4(,6﹣),
滿足條件的點F共有四個,坐標分別為
F1(,8),F(xiàn)2(,4),F(xiàn)3(,6+),F(xiàn)4(,6﹣).
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【題目】如圖,⊙M交x軸于B、C兩點,交y軸于A,點M的縱坐標為2.B(﹣3,O),C(,O).
(1)求⊙M的半徑;
(2)若CE⊥AB于H,交y軸于F,求證:EH=FH.
(3)在(2)的條件下求AF的長.
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【題目】已知:如圖,在四邊形ABCD中,AD∥BC,點E為CD邊上一點,AE與BE分別為∠DAB和∠CBA的平分線.
(1)作線段AB的垂直平分線交AB于點O,并以AB為直徑作⊙O(要求:尺規(guī)作圖,保留作圖痕跡,不寫作法);
(2)在(1)的條件下,⊙O交邊AD于點F,連接BF,交AE于點G,若AE=4,sin∠AGF=,求⊙O的半徑.
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【題目】如圖,四邊形ABCD是邊長為2的正方形,以點A,B,C為圓心作圓,分別交BA,CB,DC的延長線于點E,F(xiàn),G.
(1)求點D沿三條圓弧運動到點G所經(jīng)過的路線長;
(2)判斷線段GB與DF的長度關系,并說明理由.
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【題目】如圖,在△ABC中,AB=AC,AD是BC邊上的高,點E、F是AD的三等分點,若AD=6cm,CD=3cm,則圖中陰影部分的面積是____cm2.
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【題目】近幾年“霧霾”成為全社會關注的話題某校環(huán)保志愿者小組對該市2018年空氣質量進行調查,從全年365天中隨機抽查了50天的空氣質量指數(shù)(AQI),得到以下數(shù)據(jù):43、62、80、78、46、78、23、59、32、78、86、125、98、116、86、69、28、43、58、87、75、116、178、146、57、26、43、59、77、103、126、159、201、289、315、253、196、102、93、72、56、43、39、44、47、34、31、29、43、52.
(1)請你完成如下的統(tǒng)計表;
AQI | 0~50 | 51~100 | 101~150 | 151~200 | 201~250 | 300以上 |
質量等級 | A(優(yōu)) | B(良) | C(輕度污染) | D(中度污染) | E(重度污染) | F(嚴重污染) |
天數(shù) |
(2)請你根據(jù)題中所給信息繪制該市2018年空氣質量等級條形統(tǒng)計圖;
(3)請你估計該市全年空氣質量等級為“重度污染”和“嚴重污染”的天數(shù).
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【題目】A、B兩輛汽車同時從相距330千米的甲、乙兩地相向而行,s(千米)表示汽車與甲地的距離,t(分)表示汽車行駛的時間,如圖,L1,L2分別表示兩輛汽車的s與t的關系.
(1)L1表示哪輛汽車到甲地的距離與行駛時間的關系?
(2)汽車B的速度是多少?
(3)求L1,L2分別表示的兩輛汽車的s與t的關系式.
(4)2小時后,兩車相距多少千米?
(5)行駛多長時間后,A、B兩車相遇?
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【題目】如圖,E、F、G、H分別是四邊形ABCD邊AB、BC、CD、AD的中點,下列說法正確的是( 。
A.當AC⊥BD時,四邊形EFGH是菱形
B.當AC=BD時,四邊形EFGH是矩形
C.當四邊形ABCD是平行四邊形時,則四邊形EFGH是矩形
D.當四邊形ABCD是矩形時,則四邊形EFGH是菱形
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【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,將△ABC繞點A順時針旋轉90°后得到△AB′C′(點B的對應點是點B′,點C的對應點是點C′),連接CC′.若∠CC′B′=32°,則∠B的大小是( )
A.32°B.64°C.77°D.87°
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