【題目】如圖①,已知拋物線y=ax2+bx+3(a≠0)與x軸交于點(diǎn)A(1,0)和點(diǎn)B(﹣3,0),與y軸交于點(diǎn)C.
(1)求拋物線的解析式;
(2)設(shè)拋物線的對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)M,問(wèn)在對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P,使△CMP為等腰三角形?若存在,請(qǐng)直接寫出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;
(3)如圖②,若點(diǎn)E為第二象限拋物線上一動(dòng)點(diǎn),連接BE、CE,求四邊形BOCE面積的最大值,并求此時(shí)E點(diǎn)的坐標(biāo).
【答案】
(1)
解:∵拋物線y=ax2+bx+3(a≠0)與x軸交于點(diǎn)A(1,0)和點(diǎn)B(﹣3,0),
∴
解得:
∴所求拋物線解析式為:
y=﹣x2﹣2x+3;
(2)
解:∵拋物線解析式為:
y=﹣x2﹣2x+3,
∴其對(duì)稱軸為x= =﹣1,
∴設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(﹣1,a),當(dāng)x=0時(shí),y=3,
∴C(0,3),M(﹣1,0)
∴當(dāng)CP=PM時(shí),(﹣1)2+(3﹣a)2=a2,解得a= ,
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為:P1(﹣1, );
∴當(dāng)CM=PM時(shí),(﹣1)2+32=a2,解得a=± ,
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為:P2(﹣1, )或P3(﹣1,﹣ );
∴當(dāng)CM=CP時(shí),由勾股定理得:(﹣1)2+32=(﹣1)2+(3﹣a)2,解得a=6,
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為:P4(﹣1,6)
綜上所述存在符合條件的點(diǎn)P,其坐標(biāo)為P(﹣1, )或P(﹣1,﹣ )
或P(﹣1,6)或P(﹣1, )
(3)
解:過(guò)點(diǎn)E作EF⊥x軸于點(diǎn)F,設(shè)E(a,﹣a2﹣2a+3)(﹣3<a<0)
∴EF=﹣a2﹣2a+3,BF=a+3,OF=﹣a
∴S四邊形BOCE= BFEF+ (OC+EF)OF
= (a+3)(﹣a2﹣2a+3)+ (﹣a2﹣2a+6)(﹣a)
=
=﹣ +
∴當(dāng)a=﹣ 時(shí),S四邊形BOCE最大,且最大值為 .
此時(shí),點(diǎn)E坐標(biāo)為(﹣ , ).
【解析】(1)已知拋物線過(guò)A、B兩點(diǎn),可將兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中,用待定系數(shù)法即可求出二次函數(shù)的解析式;(2)可根據(jù)(1)的函數(shù)解析式得出拋物線的對(duì)稱軸,也就得出了M點(diǎn)的坐標(biāo),由于C是拋物線與y軸的交點(diǎn),因此C的坐標(biāo)為(0,3),根據(jù)M、C的坐標(biāo)可求出CM的距離.然后分三種情況進(jìn)行討論:①當(dāng)CP=PM時(shí),P位于CM的垂直平分線上.求P點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)鍵是求P的縱坐標(biāo),過(guò)P作PQ⊥y軸于Q,如果設(shè)PM=CP=x,那么直角三角形CPQ中CP=x,OM的長(zhǎng),可根據(jù)M的坐標(biāo)得出,CQ=3﹣x,因此可根據(jù)勾股定理求出x的值,P點(diǎn)的橫坐標(biāo)與M的橫坐標(biāo)相同,縱坐標(biāo)為x,由此可得出P的坐標(biāo).②當(dāng)CM=MP時(shí),根據(jù)CM的長(zhǎng)即可求出P的縱坐標(biāo),也就得出了P的坐標(biāo)(要注意分上下兩點(diǎn)).③當(dāng)CM=CP時(shí),因?yàn)镃的坐標(biāo)為(0,3),那么直線y=3必垂直平分PM,因此P的縱坐標(biāo)是6,由此可得出P的坐標(biāo);(3)由于四邊形BOCE不是規(guī)則的四邊形,因此可將四邊形BOCE分割成規(guī)則的圖形進(jìn)行計(jì)算,過(guò)E作EF⊥x軸于F,四邊形BOCE的面積=三角形BFE的面積+直角梯形FOCE的面積.直角梯形FOCE中,F(xiàn)O為E的橫坐標(biāo)的絕對(duì)值,EF為E的縱坐標(biāo),已知C的縱坐標(biāo),就知道了OC的長(zhǎng).在三角形BFE中,BF=BO﹣OF,因此可用E的橫坐標(biāo)表示出BF的長(zhǎng).如果根據(jù)拋物線設(shè)出E的坐標(biāo),然后代入上面的線段中,即可得出關(guān)于四邊形BOCE的面積與E的橫坐標(biāo)的函數(shù)關(guān)系式,根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可求得四邊形BOCE的最大值及對(duì)應(yīng)的E的橫坐標(biāo)的值.即可求出此時(shí)E的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖, 在△ABC中,AC=3、AB=4、BC=5, P為BC上一動(dòng)點(diǎn),PG⊥AC于點(diǎn)G,PH⊥AB
于點(diǎn)H,M是GH的中點(diǎn),P在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中PM的最小值為( )
A. 2.4 B. 1.4
C. 1.3 D. 1.2
【答案】D
【解析】分析: 由AC=3、AB=4、BC=5,得AC2+AB2=BC2,則∠A=90°,再結(jié)合PG⊥AC,PH⊥AB,可證四邊形AGPH是矩形;連接AP,可知當(dāng)AP⊥BC時(shí)AP最短,結(jié)合矩形的兩對(duì)角線相等和面積法,求出GH的值,
詳解:∵AC=3、AB=4、BC=5,
∴AC2=9,AB2=16,BC2=25,
∴AC2+AB2=BC2,
∴∠A=90°.
∵PG⊥AC,PH⊥AB,
∴∠AGP=∠AHP=90° ,
∴四邊形AGPH是矩形.
連接AP,
∴GH=AP.
∵當(dāng)AP⊥BC時(shí),AP最短,
∴3×4=5AP,
∴AP=,
∴PM的最小值為1.2.
故選D.
點(diǎn)睛: 本題考查了勾股定理的逆定理,矩形的判定與性質(zhì),垂線段最短,面積法求線段的長(zhǎng),需結(jié)合矩形的判定方法,矩形的性質(zhì)以及三角形面積的知識(shí)求解;確定出點(diǎn)P的位置是解答本題的關(guān)鍵.
【題型】單選題
【結(jié)束】
18
【題目】計(jì)算:
(1) (2)
(3)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】定義:如圖1,點(diǎn)M,N把線段AB分割成AM,MN和BN,若以AM,MN,BN為邊的三角形是一個(gè)直角三角形,則稱點(diǎn)M,N是線段AB的勾股分割點(diǎn).
請(qǐng)解決下列問(wèn)題:
(1)已知點(diǎn)M,N是線段AB的勾股分割點(diǎn),且BN>MN>AM.若AM=2,MN=3,求BN的長(zhǎng);
(2)如圖2,若點(diǎn)F、M、N、G分別是AB、AD、AE、AC邊上的中點(diǎn),點(diǎn)D,E是線段BC的勾股分割點(diǎn),且EC>DE>BD,求證:點(diǎn)M,N是線段FG的勾股分割點(diǎn).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】△ABC 在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中的位置如圖所示.
(1)作△ABC 關(guān)于點(diǎn) O 成中心對(duì)稱的△A1B1C1;
(2)作出將△A1B1C1向右平移 3 個(gè)單位,再向上平移4 個(gè)單位后的△A2B2C2;
(3)請(qǐng)直接寫出點(diǎn) B2 關(guān)于 x 軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖1,點(diǎn)O為直線AB上一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)O作射線OC,使∠BOC=120°.將一直角三角板的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)O處,一邊OM在射線OB上,另一邊ON在直線AB的下方.
(1)將圖1中的三角板繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖2,使一邊OM在∠BOC的內(nèi)部,且恰好平分∠BOC.問(wèn):此時(shí)直線ON是否平分∠AOC?請(qǐng)說(shuō)明理由.
(2)將圖1中的三角板繞點(diǎn)O以每秒6°的速度沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一周,在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中,第t秒時(shí),直線ON恰好平分銳角∠AOC,則t的值為_________(直接寫出結(jié)果).
(3)將圖1中的三角板繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖3,使ON在∠AOC的內(nèi)部,請(qǐng)?zhí)骄浚?/span>
∠AOM與∠NOC之間的數(shù)量關(guān)系,并說(shuō)明理由。
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】2016年3月,我市某中學(xué)舉行了“愛(ài)我中國(guó)朗誦比賽”活動(dòng),根據(jù)學(xué)生的成績(jī)劃分為A、B、C、D四個(gè)等級(jí),并繪制了不完整的兩種統(tǒng)計(jì)圖.根據(jù)圖中提供的信息,回答下列問(wèn)題:
(1)參加朗誦比賽的學(xué)生共有人,并把條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整;
(2)扇形統(tǒng)計(jì)圖中,m= , n=;C等級(jí)對(duì)應(yīng)扇形有圓心角為度;
(3)學(xué)校欲從獲A等級(jí)的學(xué)生中隨機(jī)選取2人,參加市舉辦的朗誦比賽,請(qǐng)利用列表法或樹形圖法,求獲A等級(jí)的小明參加市朗誦比賽的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】操作探究:已知在紙面上有一數(shù)軸(如圖所示).
操作一:
(1)折疊紙面,使1表示的點(diǎn)與-1表示的點(diǎn)重合,則-3表示的點(diǎn)與________表示的點(diǎn)重合;
操作二:
(2)折疊紙面,使-1表示的點(diǎn)與3表示的點(diǎn)重合,回答以下問(wèn)題:
①5表示的點(diǎn)與數(shù)________表示的點(diǎn)重合;
②若數(shù)軸上A、B兩點(diǎn)之間距離為11(A在B的左側(cè)),且A、B兩點(diǎn)經(jīng)折疊后重合,求A、B兩點(diǎn)表示的數(shù)是多少.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為了預(yù)防“甲型H1N1”,某校對(duì)教室采用藥薰消毒法進(jìn)行消毒,已知藥物燃燒時(shí),室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量y(mg)與時(shí)間x(min)成正比例,藥物燃燒后,y與x成反比例,如圖所示,現(xiàn)測(cè)得藥物8min燃畢,此時(shí)室內(nèi)空氣每立方米的含藥量為6mg,請(qǐng)你根據(jù)題中提供的信息,解答下列問(wèn)題:
(1)藥物燃燒時(shí),求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式?自變量x的取值范圍是什么?藥物燃燒后y與x的函數(shù)關(guān)系式呢?
(2)研究表明,當(dāng)空氣中每立方米的含藥量低于1.6mg時(shí),生方可進(jìn)教室,那么從消毒開始,至少需要幾分鐘后,生才能進(jìn)入教室?
(3)研究表明,當(dāng)空氣中每立方米的含藥量不低于3mg且持續(xù)時(shí)間不低于10min時(shí),才能殺滅空氣中的毒,那么這次消毒是否有效?為什么?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,△ABC中,AB=AC,∠A=36°,AB的垂直平分線DE交AC于點(diǎn)D,交AB于點(diǎn)E,下列敘述結(jié)論錯(cuò)誤的是( )
A. BD平分∠ABC B. △BCD的周長(zhǎng)等于AB+BC
C. 點(diǎn)D是線段AC的中點(diǎn) D. AD=BD=BC
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