Question

如圖，在平面直角坐標系中，已知三點A（0，a），B（b，0），C（b，c），其中a，b，c滿足關(guān)系式|a-2|+（b-3）²=0，c=2b-a；
（1）求a，b，c的值；
（2）如果再第二象限內(nèi)有一點P（m，1），請用含m的式子表示四邊形ABOP的面積，若四邊形ABOP的面積與△ABC的面積相等，請求出點P的坐標；
（3）若B，A兩點分別在x軸，y軸的正半軸上運動，設(shè)∠BAO的鄰補角的平分線和∠ABO的鄰補角的平分線相交于第一象限內(nèi)一點Q，那么，點A，B在運動的過程中，∠Q的大小是否會發(fā)生變化？若不發(fā)生變化，請求出其值，若發(fā)生變化，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）絕對值、完全平方均≥0而求得．（2）三角形ABC和四邊形ABOP相等，從而代入m值，來求得．（3）因為角AOB為定值，把所求角度轉(zhuǎn)化成角AOB，所以證明所求角度為定值．

解答：解：（1）∵|a-2|+（b-3）²=0，
∴a-2=0，b-3=0，
即a=2，b=3，
又∵c=2b-a，
∴c=2×3-2=4；

（2）由題意：S_△ABC=

1

2

BC×b=

1

2

×4×3=6，
S_{四邊形ABOP}=

1

2

×AO×|m|+

1

2

×AO×|c|=

1

2

×2×|m|+

1

2

×2×3=|m|+3，
由題意S_{四邊形ABOP}=S_△ABC，
∴|m|+3=6，
即m=±3，
∵點P在第二象限，
∴點P（-3，1）；

（3）∠AQB為定值．
證明：∵2∠BAQ=∠AOB+∠ABO，2∠ABQ=∠AOB+∠OAB，
∴2（∠BAQ+∠ABQ）=2∠AOB+∠ABO+∠OAB，
∠BAQ+∠ABQ=∠AOB+

180°-∠AOB

2

=90°+

1

2

∠AOB，
∵∠AOB大小為定值，
∴∠BAQ+∠ABQ的大小為定值，
∴∠AQB=180°-（∠BAQ+∠ABQ），
故∠AQB為定值．

點評：本題考查了坐標與圖形性質(zhì)，（1）從絕對值和完全平方大于等于0算起，從而得到．（2）由三角形面積和四邊形面積相等著手，三角形面積很容易得到，從而得到m的值．（3）從三角形內(nèi)角和為180度，并從角AOB為定值出發(fā)，從而得到所求角度為定值．