Question

【題目】如圖1，已知直線y=﹣x+m與反比例函數(shù)y=的圖象在第一象限內(nèi)交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），分別與x、y軸交于點(diǎn)C、D，AE⊥x軸于E．

（1）若OECE=12，求k的值．

（2）如圖2，作BF⊥y軸于F，求證：EF∥CD．

（3）在（1）（2）的條件下，EF=， AB=2，P是x軸正半軸上的一點(diǎn)，且△PAB是以P為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，求P點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）k=6；（2）詳見解析；（3）P（3，0）．

【解析】

（1）分別設(shè)出一次函數(shù)解析式和反比例函數(shù)的解析式，代入點(diǎn)A的坐標(biāo)，即可得出各解析式．

（2）連接AF、BE，過E、F分別作FM⊥AB，EN⊥AB，得出FM∥EN，再根據(jù)AE⊥x軸，BF⊥y軸，得出AE⊥BF，由此得出S△AEF=S△BEF，最后證出FM=EN，得出四邊形EFMN是矩形，由此證出EF∥CD；

（3）由（2）得出EF=AD=BC和CD的值，再由直線解析式可得OD=m，OC=2m，得出OD=4，再根據(jù)EF∥CD，得出OF和0E、DF的值，最后根據(jù)EF=，AB=2得出EP的值，即可求出P點(diǎn)的坐標(biāo).

（1）設(shè)OE=a，則A（a，﹣a+m），

∵點(diǎn)A在反比例函數(shù)圖象上，∴a（﹣a+m）=k，即k=﹣a2+am，

由一次函數(shù)解析式可得C（2m，0），

∴CE=2m﹣a，

∴OE．CE=a（2m﹣a）=﹣a2+2am=12，

∴k=（﹣a2+2am）=×12=6；

（2）連接AF、BE，過E、F分別作FM⊥AB，EN⊥AB，

∴FM∥EN，

∵AE⊥x軸，BF⊥y軸，

∴AE⊥BF，

S△AEF=AEOE=，

S△BEF=BFOF=，

∴S△AEF=S△BEF，

∴FM=EN，

∴四邊形EFMN是矩形，

∴EF∥CD；

（3）由（2）可知，EF=AD=BC=，

∴CD=4，

由直線解析式可得OD=m，OC=2m，

∴OD=4，

又EF∥CD，

∴OE=2OF，

∴OF=1，0E=2，

∴DF=3，

∴AE=DF=3，

∵AB=2，

∴AP=，

∴EP=1，

∴P（3，0）．