Question

如圖，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，10），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（5，0），點(diǎn)P從A開始在線段AO上以3單位/秒的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從B開始在線段BO上以1單位/秒的速度移動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)O時(shí)，另一點(diǎn)也隨即停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（秒）．以P、Q為圓心作⊙P和⊙Q，且⊙P和⊙Q的半徑分別為4和1．
（1）在運(yùn)動(dòng)的過程中若⊙P與Rt△AOB的一邊相切，求此時(shí)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（2）若⊙P與線段AB有兩個(gè)公共點(diǎn)，求t的范圍；
（3）在運(yùn)動(dòng)的過程中，是否存在某一時(shí)刻⊙P和⊙Q相切？若存在，求出t的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）分為兩種情況：當(dāng)⊙P與AB相切時(shí)，OP=10-4

5

，即P₁（0，10-4

5

）；當(dāng)⊙P與OB相切時(shí)，OP=4，所以P₂（0，4）；
（2）根據(jù)4≤OP＜4

5

時(shí)，⊙P與線段AB有兩個(gè)公共點(diǎn)，可求得

4

3

≤t＜

4 5

3

；
（3）若⊙P和⊙Q相切，則能夠形成直角三角形OPQ，根據(jù)勾股定理計(jì)算即可．

解答：解：（1）當(dāng)⊙P與AB相切時(shí)，
設(shè)AP=x，則有x：5

5

=4：5，解得x=4

5

，所以O(shè)P=10-4

5

．
即P₁（0，10-4

5

）；
當(dāng)⊙P與OB相切時(shí)，OP=4，所以P₂（0，4）．

（2）當(dāng)4≤OP＜4

5

時(shí)，⊙P與線段AB有兩個(gè)公共點(diǎn)，即

4

3

≤t＜

4 5

3

．

（3）若兩圓外切，（10-3t）²+（5-t）²=25，
則t=2或t=5（舍去）；
若兩圓內(nèi)切，（10-3t）²+（5-t）²=9，
t=

35± 65

10

．
只取t=2，或t=

35- 65

10

．

點(diǎn)評(píng)：主要考查了直線與圓的位置關(guān)系和圓與圓的位置關(guān)系．在解決此類動(dòng)點(diǎn)問題時(shí)一定要把所有的情況考慮進(jìn)去不要漏掉某種情況．先求對(duì)應(yīng)線段的長度再根據(jù)速度求得時(shí)間，并會(huì)靈活運(yùn)用勾股定理．