Question

【題目】拋物線y＝﹣x+c交x軸于A、B兩點（B在A左側），交y軸于C，AB＝10．

（1）求拋物線的解析式；

（2）在A點右側的x軸上取點D，E為拋物線上第二象限內的點，連接DE交拋物線另外一點F，tan∠BDE＝，DF＝2EF，求E點坐標；

（3）在（2）的條件下，點G在x軸負半軸上，連接EG，EH∥AB交拋物線另外一點H，點K在第四象限的拋物線上，設DE交y軸于R，∠EHK＝∠EGD+∠ORD，當HK＝EG，求K點坐標．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2﹣x+3；（2）E（﹣3，8）；（3）K（﹣11，﹣8）

【解析】

（1）先根據函數關系式求出對稱軸，由AB＝10，求出點A的坐標，代入函數關系式求出c的值，即可解答；

（2）作EM⊥x軸，FN⊥x軸，FT⊥EM，得到四邊形FTMN為矩形，由EM∥FN，FT∥BD．得到∠BDE＝∠EFT，所以tan∠EFT＝，設E（﹣3m，yE），F（﹣m，yF），可得，由y＝﹣x2﹣x+3過點E、F，可得yE﹣yF＝m＝（﹣3m2+8m+3）﹣（﹣m2+m+3），可求m的值，代入解析式可求點E坐標；

（3）作EM⊥x軸，垂足為點M，過點K作KR⊥ED，與ED相交于點R，與x軸相交于點Q．再證明△EGM≌△EKR，求出點Q（﹣，0），點R（，）由待定系數法可求直線RQ的解析式為：y＝x+，設點K的坐標為（x，x+）代入拋物線解析式可得x＝﹣11，即可求解．

解：（1）由y＝﹣x2﹣x+c，

可得對稱軸為x＝﹣4

∵AB＝10，

∴點A的坐標為（1，0），點B（﹣9，0）

∴﹣×12﹣×1+c＝0，

∴c＝3

∴拋物線的解析式為y＝﹣x2﹣x+3；

（2）如圖2，作EM⊥x軸，垂足為點M，FN⊥x軸，垂足為點N，FT⊥EM，垂足為點T．

∴∠TMN＝∠FNM＝∠MTF＝90°，

∴四邊形FTMN為矩形，

∴EM∥FN，FT∥BD．

∴∠BDE＝∠EFT，

∵tan∠BDE＝，

∴tan∠EFT＝，

設E（﹣3m，yE），F（﹣m，yF）

∴，

∵y＝﹣x2﹣x+3過點E、F，

則yE﹣yF＝m＝（﹣3m2+8m+3）﹣（﹣m2+m+3），

解得m＝0（舍去）或m＝1，

當m＝1時，﹣3m＝﹣3，

∴yE＝﹣×（﹣3）2﹣×（﹣3）+3＝8．

∴E（﹣3，8）．

（3）如圖3，作EM⊥x軸，垂足為點M，過點K作KR⊥ED，與ED相交于點R，與x軸相交于點Q．

∵∠KER+∠EDH＝90°，∠EGM+∠GEM＝90°，∠EDH＝∠EGM，

∴∠KER＝∠GEM，

在△EGM和△EKR中，

∴△EGM≌△EKR（AAS）

∴EM＝ER＝8，

∵tan∠BDE＝．

∴ED＝10，

∴DR＝2，

∴DQ＝，

∴Q（﹣，0），

可求R（， ）

∴直線RQ的解析式為：y＝x+，

設點K的坐標為（x，x+）代入拋物線解析式可得x＝﹣11

∴K（﹣11，﹣8）．