Question

【題目】如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點(diǎn)，AD垂直于過(guò)點(diǎn)C的直線，垂足為D，且AC平分∠DAB，

（1）求證：DC是⊙O的切線；

（2）若⊙O的半徑為2，AC＝2，求線段AD的長(zhǎng)；

（3）在（2）的條件下，求圖中陰影部分的面積（直接寫出答案）．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）AD=3；（3）

【解析】

（1）連接OC，由OA=OC可以得到∠OAC=∠OCA，然后利用角平分線的性質(zhì)可以證明∠DAC=∠OCA，接著利用平行線的判定即可得到OC∥AD，然后就得到OC⊥CD，由此即可證明直線CD與⊙O相切于C點(diǎn)；

（2）連接BC，根據(jù)圓周角定理的推理得到∠ACB=90°，又∠DAC=∠OAC，由此可以得到△ADC∽△ACB，然后利用相似三角形的性質(zhì)即可解決問(wèn)題；

（3）設(shè)AD交⊙O于點(diǎn)E，連接OE，根據(jù)S陰=S梯形AOCD-S△AOE-S扇形COE計(jì)算即可.

（1）證明：連接OC，

∵OA＝OC

∴∠OAC＝∠OCA

∵AC平分∠DAB

∴∠DAC＝∠OAC

∴∠DAC＝∠OCA

∴OC∥AD

∵AD⊥CD，

∴OC⊥CD，

∴DC是⊙O的切線；

（2）連接BC，

∵AB為⊙O的直徑，

∴∠ACB＝90°．

∵∠DAC＝∠OAC，∠ADC＝∠ACB＝90°，

∴△ADC∽△ACB，

∴，

∵⊙O的半徑為2，AC＝2，

∴AD＝3；

（3）∵AD⊥CD，

∴，

∵OC∥AD，

∴S梯形AOCD＝，

在Rt△ABC中，AC＝2，AB＝4，

∴，

∴∠BAC＝30°，

∴∠BAD＝60°，

設(shè)AD交⊙O于點(diǎn)E，連接OE，

∵OA＝OE，

∴△AOE是等邊三角形，

∴∠AOE＝60°，

∵OC∥AD，

∴∠AOC＝180°﹣∠BAD＝120°，

∴∠COE＝60°，

∴S陰＝S梯形AOCD﹣S△AOE﹣S扇形COE＝．