【題目】在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=30,AB=50.點P是AB邊上任意一點,直線PE⊥AB,與邊AC或BC相交于E.點M在線段AP上,點N在線段BP上,EM=EN,sin∠EMP= .
(1)如圖1,當(dāng)點E與點C重合時,求CM的長;
(2)如圖2,當(dāng)點E在邊AC上時,點E不與點A,C重合,設(shè)AP=x,BN=y,求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式,并寫出x的取值范圍;
(3)若△AME∽△ENB,求AP的長.
【答案】
(1)
解:∵∠ACB=90°,
∴AC= = =40,
∵CP⊥AB,
∴ = ,
∴ = ,
∴CP=24,
∴CM= = =26
(2)
解:∵sin∠EMP= ,
∴設(shè)EP=12a,
則EM=13a,PM=5a,
∵EM=EN,
∴EN=13a,PN=5a,
∵△AEP∽△ABC,
∴ ,
∴ =
∴x=16a,
∴a= ,
∴BP=50﹣16a,
∴y=50﹣21a,
=50﹣21× ,
=50﹣ x,
∵當(dāng)E點與A點重合時,x=0.當(dāng)E點與C點重合時,x=32.
∴函數(shù)的定義域是:(0<x<32)
(3)
解:①當(dāng)點E在AC上時,如圖2,
設(shè)EP=12a,則EM=13a,MP=NP=5a,
∵△AEP∽△ABC,
∴ = ,
∴ = ,
∴AP=16a,
∴AM=11a,
∴BN=50﹣16a﹣5a=50﹣21a,
∵△AME∽△ENB,
∴ =
∴ = ,
∴a= ,
∴AP=16× =22,
②當(dāng)點E在BC上時,如圖(備用圖),設(shè)EP=12a,則EM=13a,MP=NP=5a,
∵△EBP∽△ABC,
∴ = ,
即 = ,
解得BP=9a,
∴BN=9a﹣5a=4a,AM=50﹣9a﹣5a=50﹣14a,
∵△AME∽△ENB,
∴ = ,
即 = ,
解得a= ,
∴AP=50﹣9a=50﹣9× =42.
所以AP的長為:22或42.
【解析】((1)本題需先根據(jù)已知條件得出AC的值,再根據(jù)CP⊥AB求出CP,從而得出CM的值.(2)本題需先根據(jù)EN,根據(jù)sin∠EMP= ,設(shè)出EP的值,從而得出EM和PM的值,再得出△AEP∽△ABC,即可求出 = ,求出a的值,即可得出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式,并且能求出函數(shù)的定義域.(3)本題需先設(shè)EP的值,得出則EM和MP的值,然后分①點E在AC上時,根據(jù)△AEP∽△ABC,求出AP的值,從而得出AM和BN的值,再根據(jù)△AME∽△ENB,求出a的值,得出AP的長;②點E在BC上時,根據(jù)△EBP∽△ABCC,求出AP的值,從而得出AM和BN的值,再根據(jù)△AME∽△ENB,求出a的值,得出AP的長.
【考點精析】本題主要考查了相似三角形的應(yīng)用的相關(guān)知識點,需要掌握測高:測量不能到達頂部的物體的高度,通常用“在同一時刻物高與影長成比例”的原理解決;測距:測量不能到達兩點間的舉例,常構(gòu)造相似三角形求解才能正確解答此題.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在Rt△ACB中,∠ACB=90°,∠A=30°,點D是AB邊的中點.
(1)如圖1,若CD=4,求△ACB的周長.
(2)如圖2,若E為AC的中點,將線段CE以C為旋轉(zhuǎn)中心順時針旋轉(zhuǎn)60°,使點E至點F處,連接BF交CD于點M,連接DF,取DF的中點N,連接MN,求證:MN=2CM.
(3)如圖3,以C為旋轉(zhuǎn)中心將線段CD順時針旋轉(zhuǎn)90°,使點D至點E處,連接BE交CD于M,連接DE,取DE的中點N,連接交MN,試猜想BD、MN、MC之間的關(guān)系,直接寫出其關(guān)系式,不證明.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列計算正確的是( )
A.2 +3 =5
B.( )(1﹣ )=1
C.(xy)﹣1( xy)2= xy
D.﹣(﹣a)4÷a2=a2
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知5臺A型機器一天的產(chǎn)品裝滿8箱后還剩4個,7臺B型機器一天的產(chǎn)品裝滿11箱后還剩1個,每臺A型機器比B型機器一天多生產(chǎn)1個產(chǎn)品.
(1)求每箱裝多少個產(chǎn)品.
(2)3臺A型機器和2臺B型機器一天能生產(chǎn)多少個產(chǎn)品?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】現(xiàn)代互聯(lián)網(wǎng)技術(shù)的廣泛應(yīng)用,催生了快遞行業(yè)的高速發(fā)展.小明計劃給朋友快遞一部分物品,經(jīng)了解有甲、乙兩家快遞公司比較合適.甲公司表示:快遞物品不超過1千克的,按每千克22元收費;超過1千克,超過的部分按每千克15元收費.乙公司表示:按每千克16元收費,另加包裝費3元.設(shè)小明快遞物品x千克.
(1)請分別寫出甲、乙兩家快遞公司快遞該物品的費用y(元)與x(千克)之間的函數(shù)關(guān)系式;
(2)小明選擇哪家快遞公司更省錢?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】數(shù)軸上,A、B兩點表示的數(shù)a,b滿足|a﹣6|+(b+12)2=0
(1)a= ,b= ;
(2)若小球M從A點向負半軸運動、小球N從B點向正半軸運動,兩球同時出發(fā),小球M運動的速度為每秒2個單位,當(dāng)M運動到OB的中點時,N點也同時運動到OA的中點,則小球N的速度是每秒 個單位;
(3)若小球M、N保持(2)中的速度,分別從A、B兩點同時出發(fā),經(jīng)過 秒后兩個小球相距兩個單位長度.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖:E是邊長為1的正方形ABCD的對角線BD上一點,且BE=BC,P為CE上任意一點,PQ⊥BC于點Q,PR⊥BE于點R,則PQ+PR的值是( )
A.
B.
C.
D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為發(fā)展校園足球運動,某縣城區(qū)四校決定聯(lián)合購買一批足球運動裝備,市場調(diào)查發(fā)現(xiàn):甲、乙兩商場以同樣的價格出售同種品牌的足球隊服和足球,已知每套隊服比每個足球多50元,兩套隊服與三個足球的費用相等.經(jīng)洽談,甲商場的優(yōu)惠方案是:每購買10套隊服,送1個足球;乙商場的優(yōu)惠方案是:若購買隊服超過80套,則購買足球打八折.
(1)每套隊服和每個足球的價格分別是多少?
(2)若城區(qū)四校聯(lián)合購買100套隊服和a個足球,請用含a的式子分別表示出到甲商場和乙商場購買裝備所需的費用.
(3)假如你是本次購買任務(wù)的負責(zé)人,你認為到哪家商場購買比較合算?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某市團委舉行以“我的中國夢”為主題的知識競賽,甲、乙兩所學(xué)校的參賽人數(shù)相等,比賽結(jié)束后,發(fā)現(xiàn)學(xué)生成績分別為分,分,分,分,并根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)繪制了如下不完整的統(tǒng)計圖表:
(1)乙學(xué)校的參賽人數(shù)是 人;
(2)在圖①中,“分”所在扇形的圓心角度數(shù)為 ;
(3)請你將圖②補充完整;
(4)求乙校成績的平均分;
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