Question

【題目】如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，并與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)是對(duì)稱軸與軸的交點(diǎn)．

(1)求拋物線的解析式;

(2)如圖①所示, 是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),且位于第一象限，連結(jié)BP、AP,求的面積的最大值;

(3)如圖②所示，在對(duì)稱軸的右側(cè)作交拋物線于點(diǎn),求出點(diǎn)的坐標(biāo);并探究:在軸上是否存在點(diǎn),使?若存在，求點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）當(dāng)時(shí)，最大值為；（3）存在，點(diǎn)坐標(biāo)為，理由見解析

【解析】

(1)利用待定系數(shù)法可求出二次函數(shù)的解析式；

(2)求三角形面積的最值，先求出三角形面積的函數(shù)式.從圖形上看S△PAB=S△BPO+S△APO-S△AOB,設(shè)P求出關(guān)于n的函數(shù)式，從而求S△PAB的最大值.

(3) 求點(diǎn)D的坐標(biāo)，設(shè)D,過(guò)D做DG垂直于AC于G,構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理或三角函數(shù)值來(lái)求t的值即得D的坐標(biāo);探究在y軸上是否存在點(diǎn),使?根據(jù)以上條件和結(jié)論可知∠CAD=120°,是∠CQD的2倍，聯(lián)想到同弧所對(duì)的圓周角和圓心角，所以以A為圓心，AO長(zhǎng)為半徑做圓交y軸與點(diǎn)Q,若能求出這樣的點(diǎn)，就存在Q點(diǎn).

解：拋物線頂點(diǎn)為

可設(shè)拋物線解析式為

將代入得

拋物線，即

連接，

設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為

當(dāng)時(shí)，最大值為

存在，設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為

過(guò)作對(duì)稱軸的垂線，垂足為,

則

在中有

化簡(jiǎn)得

（舍去），

∴點(diǎn)D(,-3)

連接，在中

在以為圓心，為半徑的圓與軸的交點(diǎn)上

此時(shí)

設(shè)點(diǎn)為(0,m), AQ為的半徑

則AQ=OQ+OA, 6=m+3

即

∴

綜上所述，點(diǎn)坐標(biāo)為

故存在點(diǎn)Q，且這樣的點(diǎn)有兩個(gè)點(diǎn).