Question

【題目】如圖1，點O為直線AB上一點，過O點作射線OC，使∠AOC:∠BOC=1:2，將一直角三角板的直角頂點放在點O處，一邊OM在射線OB上，另一邊ON在直線的下方.

（1）將圖1中的三角板繞點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)至圖2的位置，使得ON落在射線OB上，此時三角板旋轉(zhuǎn)的角度為____________度；

（2）在上述直角三角板從圖1逆時針旋轉(zhuǎn)到圖3的位置的過程中，若三角板繞點O按15°每秒的速度旋轉(zhuǎn)，當直角三角板的直角邊ON所在直線恰好平分∠AOC時，求此時三角板繞點O的運動時間t的值.

（3）將圖1中的三角板繞點O按每秒10°的速度沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)一周.在旋轉(zhuǎn)的過程中，假如第t秒時，OA、OC、ON三條射線構(gòu)成相等的角，求此時t的值為多少？（直接寫出答案）

Answer 1

【答案】（1）90；（2）4或16秒；（3）t的值為6、15、24、33.

【解析】試題分析：（1）由∠MON=90°即可得出結(jié)論；

（2）分兩種情況討論即可；

（3）分四種情況討論即可．

試題解析：解：（1）90；

（2）（i）如圖，

當直角邊ON在∠AOC外部時，由直線ON平分∠AOC，可得∠BON=30°．因此三角板繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)60°．此時三角板的運動時間為：t=60°÷15°=4（秒）．

（ⅱ）如圖，當直角邊ON在∠AOC內(nèi)部時，由直線ON平分∠AOC，可得∠CON=30°．

因此三角板繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)240°．此時三角板的運動時間為：t=240°÷15°=16（秒）．

∴當三角板繞點O運動了4秒或16秒時，直角三角板的直角邊ON所在直線恰好平分∠AOC．

（3）∵∠AOC：∠BOC=1：2，∴∠AOC=60°，∠BOC=120°．

①如圖①，當∠AON=∠NOC時，此時∠AON=(360°－60°)÷2=150°，t=(150°－90°)÷10°=6（秒）；

②如圖②，當∠NOC=60°時，此時旋轉(zhuǎn)的度數(shù)為：90°+60°=150°，t=150°÷10°=15（秒）；

③如圖③，當ON平分∠AOC時，此時t=(90°+120°+30°)÷10=24（秒）

④如圖④，當∠AON=∠AOC時，此時t=(90°+180°+60°)÷10=33（秒）

故t的值為6、15、24、33．