Question

（2012•海淀區(qū)二模）已知拋物線 y=（m-1）x²+（m-2）x-1與x軸交于A、B兩點(diǎn)．
（1）求m的取值范圍；
（2）若m＞1，且點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，OA：OB=1：3，試確定拋物線的解析式；
（3）設(shè)（2）中拋物線與y軸的交點(diǎn)為C，過(guò)點(diǎn)C作直線l∥x軸，將拋物線在y軸左側(cè)的部分沿直線l翻折，拋物線的其余部分保持不變，得到一個(gè)新圖象．請(qǐng)你結(jié)合新圖象回答：當(dāng)直線y=

1

3

x+b與新圖象只有一個(gè)公共點(diǎn)P（x₀，y₀）且 y₀≤7時(shí)，求b的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）拋物線 y=（m-1）x²+（m-2）x-1與x軸交于A、B兩點(diǎn)，即在解析式中令y=0，得到一個(gè)一元二次方程，這個(gè)方程有兩個(gè)不同的解，根據(jù)一元二次方程的根的判別式即可求解；
（2）首先求拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)OA：OB=1：3，即可得到關(guān)于m的方程，從而求解；
（3）首先求得拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，以及函數(shù)當(dāng)y=7時(shí)，函數(shù)的橫坐標(biāo)，則根據(jù)圖象可以得到：直線在過(guò)C的直線與過(guò)D的直線之間，或在與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)的直線的下邊，以及根的判別式即可求得m的范圍．

解答：解：（1）∵拋物線y=（m-1）x²+（m-2）x-1與x軸交于A、B兩點(diǎn)，
∴

m-1≠0 △=(m-2)2+4(m-1)＞0.

由①得m≠1，
由②得m≠0，
∴m的取值范圍是m≠0且m≠1．   
（2）∵點(diǎn)A、B是拋物線y=（m-1）x²+（m-2）x-1與x軸的交點(diǎn)，
∴令y=0，即 （m-1）x²+（m-2）x-1=0．
解得 x₁=-1，x2=

1

m-1

．
∵m＞1，
∴

1

m-1

＞0＞-1．
∵點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-1，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為(

1

m-1

，0)．
∴OA=1，OB=

1

m-1

．
∵OA：OB=1：3，
∴

1

m-1

=3．
∴m=

4

3

．
∴拋物線的解析式為y=

1

3

x2-

2

3

x-1．   
（3）∵點(diǎn)C是拋物線y=

1

3

x2-

2

3

x-1與y軸的交點(diǎn)，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，-1）．
依題意翻折后的圖象如圖所示．
令y=7，即 

1

3

x2-

2

3

x-1=7．
解得x₁=6，x₂=-4．
∴新圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)D（6，7）．
當(dāng)直線y=

1

3

x+b經(jīng)過(guò)D點(diǎn)時(shí)，可得b=5．
當(dāng)直線y=

1

3

x+b經(jīng)過(guò)C點(diǎn)時(shí)，可得b=-1．
當(dāng)直線y=

1

3

x+b(b＜-1)與函數(shù)y=

1

3

x2-

2

3

x-1(x＞0)
的圖象僅有一個(gè)公共點(diǎn)P（x₀，y₀）時(shí)，得

1

3

x0+b=

1

3

x

2 0

-

2

3

x0-1．
整理得 

x

2 0

-3x0-3b-3=0．
由△=（-3）²-4（-3b-3）=12b+21=0，得b=-

7

4

．
結(jié)合圖象可知，符合題意的b的取值范圍為-1＜b≤5或b＜-

7

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了二次函數(shù)解析式的確定、函數(shù)圖象交點(diǎn)的求法等知識(shí)點(diǎn)．主要考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．