【題目】如圖,點D為等腰直角△ABC內一點,∠ACB=90°,∠CAD=∠CBD=15°,E為AD延長線上一點,且CE=CA,給出以下結論:①DE平分∠BDC; ②△BCE是等邊三角形;③∠AEB=45°;④DE=AD+CD;正確的結論有_____.(請?zhí)钚蛱枺?/span>
【答案】①②③④.
【解析】
①先根據等腰直角三角形的性質及已知條件得出∠DAB=∠DBA=30°,則AD=BD,再證明CD是邊AB的垂直平分線,得出∠ACD=∠BCD=45°,然后根據三角形外角的性質求出∠CDE=∠BDE=60°即可;
②先利用等角對等邊證BC=CE,再推得∠BCE=60°可得結論;
③利用差可求得結論:∠AEB=∠BEC-∠AEC;
④截取DG=DC,證明△DCG是等邊三角形,再證明△ACD≌△ECG,利用線段的和與等量代換可得結論.
解:①∵△ABC是等腰直角三角形,∠ACB=90°,
∴∠BAC=∠ABC=45°,
∵∠CAD=∠CBD=15°,
∴∠BAD=∠ABD=45°-15°=30°,
∴BD=AD,
∴D在AB的垂直平分線上,
∵AC=BC,
∴C也在AB的垂直平分線上,
即直線CD是AB的垂直平分線,
∴∠ACD=∠BCD=45°,
∴∠CDE=∠CAD+∠ACD=15°+45°=60°,
∵∠BDE=∠DBA+∠BAD=60°;
∴∠CDE=∠BDE,
即DE平分∠BDC;
所以①正確;
②∵CA=CB,CA=CE,
∴CB=CE,
∵∠CAD=∠AEC=15°,
∴∠ACE=180°-15°-15°=150°,
∵∠ACB=90°,
∴∠BCE=150°-90°=60°,
∴△BCE是等邊三角形;
所以②正確;
③∵△BCE是等邊三角形,
∴∠BEC=60°,
∵∠AEC=15°,
∴∠AEB=60°-15°=45°,
所以③正確;
④在DE上取一點G,使DC=DG,連接CG,
∵∠EDC=60°,
∴△DCG是等邊三角形,
∴DC=DG=CG,∠DCG=60°,
∴∠GCE=150°-60°-45°=45°,
∴∠ACD=∠GCE=45°,
∵AC=CE,
∴△ACD≌△ECG,
∴EG=AD,
∴DE=EG+DG=AD+DC,
所以④正確;
正確的結論有:①②③④;
故答案為::①②③④.
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【題目】如圖,圓柱的高是4cm,當圓柱底面半徑r(cm)變化時,圓柱的體積V(cm3)也隨之變化.
(1)在這個變化過程中,寫出自變量,因變量;
(2) 寫出圓柱的體積V與底面半徑r的關系式;
(3)當圓柱的底面半徑由2cm變化到8cm時,圓柱的體積由多少cm3變化到多少cm3.
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【題目】如圖,已知AD⊥BC,EF⊥BC,垂足分別為D、F,∠2+∠3=180°,試說明:∠GDC=∠B.請補充說明過程,并在括號內填上相應的理由.
解:∵AD⊥BC,EF⊥BC(已知)
∴∠ADB=∠EFB=90° ,
∴EF∥AD( ),
∴ +∠2=180°( ).
又∵∠2+∠3=180°(已知),
∴∠1=∠3( ),
∴AB∥ ( ),
∴∠GDC=∠B( ).
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【題目】某花圃用花盆培育某種花苗,經過試驗發(fā)現每盆的盈利與每盆的株數構成一定的關系,每盆植入3株時,平均單株盈利3元,以同樣的栽培條件,若每盆增加1株,平均單株盈利就減少0.5元,要使每盆的盈利達到10元,每盆應該植多少株? 小明的解法如下:
解:設每盆花苗增加x株,則每盆花苗有(x+3)株,平均單株盈利為(3﹣0.5x)元,
由題意得(x+3)(3﹣0.5x)=10,
化簡,整理得:x2﹣3x+2=0
解這個方程,得:x1=1,x2=2,
答:要使每盆的盈利達到10元,每盆應該植入4株或5株.
(1)本題涉及的主要數量有每盆花苗株數,平均單株盈利,每盆花苗的盈利等,請寫出兩個不同的等量關系: .
(2)請用一種與小明不相同的方法求解上述問題.
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【題目】如圖,AE是△ABC的角平分線,AD⊥BC于點D,點F為BC的中點,若∠BAC=104°,∠C=40°,則有下列結論:①∠BAE=52°;②∠DAE=2°;③EF=ED;④S△ABF=S△ABC.其中正確的個數有( )
A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個
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【題目】如圖,A,B是兩棵大樹,兩棵大樹之間有一個廢棄的圓形坑塘,為開發(fā)利用這個坑塘,需要測量A,B之間的距離,但坑塘附近地形復雜不容易直接測量.
(1)請你利用所學知識,設計一個測量A,B之間的距離的方案,并說明理由;
(2)在你設計的測量方案中,需要測量哪些數據?為什么?
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【題目】圖①表示的是某綜合商場今年1~5月的商品各月銷售總額的情況,圖②表示的是商場服裝部各月銷售額占商場當月銷售總額的百分比情況,觀察圖①、圖②,解答下列問題:
(1)來自商場財務部的數據報告表明,商場1~5月的商品銷售總額一共是410萬元,請你根據這一信息將圖①中的統(tǒng)計圖補充完整;
(2)商場服裝部5月份的銷售額是多少萬元?
(3)小剛觀察圖②后認為,5月份商場服裝部的銷售額比4月份減少了.你同意他的看法嗎?請說明理由.
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【題目】設A是由2×4個整數組成的2行4列的數表,如果某一行(或某一列)各數之和為負數,那么改變該行(或該列)中所有數的符號,稱為一次“操作”.
(1)如表1所示,如果經過兩次“操作”,使得到的數表每行的各數之和與每列的各數之和均為非負整數,請寫出每次“操作”后所得的數表;(寫出一種方法即可)
1 | 2 | 3 | -7 |
-2 | -1 | 0 | 1 |
表1
(2)如表2所示,若經過任意一次“操作”以后,便可使得到的數表每行的各數之和與每列的各數之和均為非負整數,求整數a的值.
a | a2-1 | -a | -a2 |
2-a | 1-a2 | a-2 | a2 |
表2
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【題目】(1)小強用5個大小一樣的正方形制成如圖所示的拼接圖形(陰影部分),請你在圖中的拼接圖形上再接一個正方形,使新拼接成的圖形經過折疊后能成為一個封閉的正方體盒子.注意:添加四個符合要求的正方形,并用陰影表示.
(2)先用三角板畫∠AOB=60°,∠BOC=45°,然后計算∠AOC的度數.
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