Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn)C(0，4)為圓心，半徑為4的圓交y軸正半軸于點(diǎn)A，AB是⊙C的切線．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿AB方向以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從O點(diǎn)開始沿x軸正方向以每秒4個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，且動(dòng)點(diǎn)P、Q從點(diǎn)A和點(diǎn)O同時(shí)出發(fā)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(秒)．

（1）當(dāng)t＝1時(shí)，得到P1、Q1，求經(jīng)過A、P1、Q1三點(diǎn)的拋物線解析式及對(duì)稱軸l；

（2）當(dāng)t為何值時(shí)，直線PQ與⊙C相切？并寫出此時(shí)點(diǎn)P和點(diǎn)Q的坐標(biāo)；

（3）在(2)的條件下，拋物線對(duì)稱軸l上存在一點(diǎn)N，使NP＋NQ最小，求出點(diǎn)N的坐標(biāo)并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝， l：x＝；（2）t=2時(shí)，PQ與⊙C相切，P（2，8），Q（8，0）；（3）N（1，7），理由見解析．

【解析】

（1）先求出t＝1時(shí)P1，Q1的坐標(biāo)，然后用待定系數(shù)法即可得出拋物線的解析式，進(jìn)而可求出對(duì)稱軸l的解析式；

（2）當(dāng)直線PQ與圓C相切時(shí)，連接CP，CQ，根據(jù)平行線的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和可得∠PCQ＝90°，則有Rt△CMP∽Rt△QMC（M為PQ與圓C的切點(diǎn)），然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求出t的值；

（3）本題是典型的“將軍飲馬”問題，解題的關(guān)鍵是確定N的位置，可先利用待定系數(shù)法求出此時(shí)拋物線的解析式，然后作出P點(diǎn)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)P′的坐標(biāo)，連接P′Q，那么P′Q與直線l的交點(diǎn)即為所求的N點(diǎn)，至此只要求出直線P′Q的解析式，即可求出N點(diǎn)的坐標(biāo)，問題即得解決．

解：（1）當(dāng)t＝1時(shí)，AP1=1，OQ1=4，則A、P1、Q1的坐標(biāo)分別為A（0，8）、P1（1，8）、Q1（4，0），

設(shè)所求拋物線解析式為y＝ax2+bx+c，則，解得：

∴拋物線的解析式為y＝，對(duì)稱軸為直線l：x＝；

（2）設(shè)PQ與⊙C相切于點(diǎn)M，如圖1，連接CP、CM、CQ，則PA＝PM＝t，QO＝QM＝4t，

∵CP、CQ分別平分∠APQ和∠OQP，∴，，

∵∠APQ+∠OQP＝180°，∴∠CPQ+∠CQP=90°，

∴∠PCQ＝=90°，

∵CM⊥PQ，∴可得Rt△CMP∽Rt△QMC，

∴，即，∴t=±2，

由于時(shí)間t只能取正數(shù)，所以t=2，即當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間t=2秒時(shí)，PQ與⊙C相切．

此時(shí)：P（2，8），Q（8，0）；

（3）∵A（0，8），P（2，8），Q（8，0），∴設(shè)此時(shí)拋物線的解析式為，

把A，P，Q代入，得：，解得：，

∴拋物線的解析式為：y＝，此時(shí)拋物線的對(duì)稱軸為直線l：x＝1，

作點(diǎn)P關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)P'，如圖2，則P'（0，8），即為點(diǎn)A，設(shè)P'Q與直線x＝1交于點(diǎn)N，則此時(shí)NP＋NQ最小，

∵P'（0，8），Q（8，0），∴直線P'Q的解析式為：y＝﹣x+8，當(dāng)x＝1時(shí)，y＝﹣1+8＝7．

因此N點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，7）．