【題目】如圖所示,一次函數(shù)分別交x,y軸于A,C兩點(diǎn),拋物線與經(jīng)過點(diǎn)A,C.

(1)求此拋物線的函數(shù)表達(dá)式;

(2)若P為拋物線上A,C兩點(diǎn)間的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)P作直線,交直線AC于點(diǎn)Q,當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí),線段PQ的長度最大?求此最大長度,及此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)。

(3)在(2)條件下,直線軸交于N點(diǎn)與直線AC交于點(diǎn)M,當(dāng)N,M,Q,D四點(diǎn)是平行四邊行時(shí),直接寫出D點(diǎn)的坐標(biāo)。

【答案】(1);(2)當(dāng)時(shí),PQ最大=, P();

(3) .

【解析】試題分析: (1)先求出A、C坐標(biāo),把A、C兩點(diǎn)坐標(biāo)代入y=x+bx+c解方程組即可.

(2)設(shè)P(a,a+2a3),則Q(a,a3),構(gòu)建二次函數(shù),利用二次函數(shù)的性質(zhì)解決問題.

(3)如圖2中,分兩種情形①當(dāng)MN為平行四邊形的邊時(shí),DQ=MN=2,可得D1( ),D2(,).②當(dāng)MN為對角線時(shí),可得D3(,).

試題解析: (1)∵一次函數(shù)y=x3分別交x,y軸于A,C兩點(diǎn),

∴A(3,0)C(0,3),把A、C兩點(diǎn)坐標(biāo)代入y=x+bx+c

解得,

∴y=x +2x3.

(2)設(shè)P(a,a +2a3),則Q(a,a3),

PQ=a3(a +2a3)=a 3a=(a)+

∴當(dāng)a=時(shí),PQ是最大值=

此時(shí)P(,).

(3)如圖2中,

N(1,0),M(1,2),Q(),

∴MN=2,

①當(dāng)MN為平行四邊形的邊時(shí),DQ=MN=2,

,

②當(dāng)MN為對角線時(shí),可得,

綜上所述,滿足條件的點(diǎn)D的坐標(biāo)為

點(diǎn)睛: 本題考查二次函數(shù)、一次函數(shù)的應(yīng)用、最值問題、平行四邊形的判定和性質(zhì)等知識(shí),解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)構(gòu)建二次函數(shù)解決最值問題,學(xué)會(huì)分類討論的思想思考問題,屬于中考常考題型.

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(2)若將△A1B1C繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)可以得到△A2B2C2,請直接寫出旋轉(zhuǎn)中心的坐標(biāo).
(3)在x軸上有一點(diǎn)P,使得PA+PB的值最小,請直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo).

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