Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4cm，點D是斜邊AB的中點，點E從點B出發(fā)以1cm/s的速度向點C運動，點F同時從點C出發(fā)以一定的速度沿射線CA方向運動，規(guī)定：當點E到終點C時停止運動；設運動的時間為x秒，連接DE、DF．

（1）填空：S△ABC=　 　cm2；

（2）當x=1且點F運動的速度也是1cm/s時，求證：DE=DF；

（3）若動點F以3cm/s的速度沿射線CA方向運動；在點E、點F運動過程中，如果有某個時間x，使得△ADF的面積與△BDE的面積存在兩倍關系，請你直接寫出時間x的值；

Answer 1

【答案】（1）8（2）證明見解析（3）或4或或

【解析】

（1）直接可求△ABC的面積；（2）連接CD，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可求：∠A=∠B=∠ACD=∠DCB=45°，即BD=CD，且BE=CF，即可證△CDF≌△BDE，可得DE=DF；
（3）分△ADF的面積是△BDE的面積的兩倍和△BDE與△ADF的面積的2倍兩種情況討論，根據(jù)題意列出方程可求x的值．

（1）∵S△ABC=AC×BC

∴S△ABC=×4×4=8（cm2）

故答案為：8

（2）如圖：連接CD

∵AC=BC，D是AB中點

∴CD平分∠ACB

又∵∠ACB=90°

∴∠A=∠B=∠ACD=∠DCB=45°

∴CD=BD

依題意得：BE=CF

∴在△CDF與△BDE中,

∴△CDF≌△BDE（SAS）

∴DE=DF

（3）如圖：過點D作DM⊥BC于點M，DN⊥AC于點N，

∵AD=BD，∠A=∠B=45°，∠AND=∠DMB=90°

∴△ADN≌△BDM（AAS）

∴DN=DM

若S△ADF=2S△BDE．

∴×AF×DN=2××BE×DM

∴|4﹣3x|=2x

∴x1=4，x2=

若2S△ADF=S△BDE

∴2××AF×DN=×BE×DM

∴2×|4﹣3x|=x

∴x1=，x2=

綜上所述：x=或4或或.