Question

如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，AB、AD上各有一點(diǎn)P、Q，△APQ的周長(zhǎng)為2，求∠PCQ．
為了解決這個(gè)問(wèn)題，我們?cè)谡�方形外以BC和AB延長(zhǎng)線(xiàn)為邊作△CBE，使得△CBE≌△CDQ（如圖）
（1）△CBE可以看成由△CDQ怎樣運(yùn)動(dòng)變化得到的？
（2）圖中PQ與PE的長(zhǎng)度有什么關(guān)系？為什么？
（3）請(qǐng)用（2）的結(jié)論證明△PCQ≌△PCE；
（4）根據(jù)以上三個(gè)問(wèn)題的啟發(fā)，求∠PCQ的度數(shù)．
（5）對(duì)于題目中的點(diǎn)Q，若Q恰好是AD的中點(diǎn)，求BP的長(zhǎng)．

Answer 1

解：（1）△CBE可以看成是由△CDQ沿逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到的；

（2）∵△CBE≌△CDQ，正方形的邊長(zhǎng)為1，
∴AQ=1-DQ=1-BE，AP=1-BP，
又∵AP+AQ+PQ=2，
∴1-BE+1-BP+PQ=2，即2-PE+PQ=2，
∴PE=PQ；

（3）∵△CBE≌△CDQ，
∴QC=EC，
在△PCQ和△PCE中，

∴△PCQ≌△PCE（SSS）；

（4）∵△PCQ≌△PCE，
∴∠PCQ=∠PCE，
又∵∠BCE=∠QCD，
∴∠QCD+∠PCB=∠PCQ，
又∵∠DCB=90°，
∴∠PCQ=×90°=45°；

（5）若Q為AD中點(diǎn)，得到DQ=AQ=AD=，
∵△PCQ≌△PCE，∴BE=DQ=，
設(shè)BP=x，則AP=1-x，
∵△PCQ≌△PCE，∴QP=PE=PB+BE=x+，
在Rt△APQ中，根據(jù)勾股定理得：PQ²=AQ²+AP²，
即（x+）²=（）²+（1-x）²，
化簡(jiǎn)得：x²+x+=+1-2x+x²，即3x=1，解得x=，
則BP的長(zhǎng)為．
分析：（1）△CBE可以看成是由△CDQ旋轉(zhuǎn)得到的；
（2）由旋轉(zhuǎn)可知△CEB≌△CDQ，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等得到DQ=BE，由正方形的變成為1易知AQ=1-DQ=1-BE，AP=1-BP，又有△APQ的周長(zhǎng)為2，可求出PQ=PE；
（3）由（2）得到的PQ=PE，由△CEB≌△CDQ得到一對(duì)對(duì)應(yīng)邊相等，再由CP為公共邊，根據(jù)SSS判定△PCQ≌△PCE；
（4）利用△PCQ≌△PCE得出∠PCQ=∠PCE，又有∠BCE=∠QCD，得出∠PCQ的度數(shù)是∠DCB度數(shù)的一半，由∠DCB為直角即可求出∠PCQ的度數(shù)；
（5）由Q為AD的中點(diǎn)，根據(jù)正方形的邊長(zhǎng)為1，求出DQ與AQ的長(zhǎng)，又△CEB≌△CDQ，得到BE=DQ，從而求出BE的長(zhǎng)，再由△PCQ≌△PCE得到PE=PQ，設(shè)PB為x，用PB+BE表示出PE即為PQ的長(zhǎng)，且表示出AP的長(zhǎng)，在直角三角形APQ中，根據(jù)勾股定理列出關(guān)于x的方程，求出方程的解得到x的值，即為BP的長(zhǎng)．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了圖形的旋轉(zhuǎn)、全等三角形的判定與性質(zhì)、正方形的性質(zhì)等知識(shí)．要求學(xué)生掌握?qǐng)D形的三種變換：平移、旋轉(zhuǎn)、軸對(duì)稱(chēng)都只是改變圖形的位置，不改變形狀和大小，從而由旋轉(zhuǎn)得到△CBE≌△CDQ，是本題的突破點(diǎn)，第四問(wèn)利用轉(zhuǎn)化的思想來(lái)求解，第五問(wèn)在求BP長(zhǎng)時(shí)，利用勾股定理列出方程，利用方程的思想來(lái)求解．