Question

一只青蛙在平面直角坐標(biāo)系上從點(diǎn)（1，1）開始，可以按照如下兩種方式跳躍：
①能從任意一點(diǎn)（a，b），跳到點(diǎn)（2a，b）或（a，2b）；
②對(duì)于點(diǎn)（a，b），如果a＞b，則能從（a，b）跳到（a-b，b）；如果a＜b，則能從（a，b）跳到（a，b-a）．
例如，按照上述跳躍方式，這只青蛙能夠到達(dá)點(diǎn)（3，1），跳躍的一種路徑為：
（1，1）→（2，1）→（4，1）→（3，1）．
請(qǐng)你思考：這只青蛙按照規(guī)定的兩種方式跳躍，能到達(dá)下列各點(diǎn)嗎？如果能，請(qǐng)分別給出從點(diǎn)（1，1）出發(fā)到指定點(diǎn)的路徑；如果不能，請(qǐng)說明理由．
（1）（3，5）；（2）（12，60）；（3）（200，5）；（4）（200，6）．

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)題目要求及兩個(gè)規(guī)則，可以得到，a和b的公共奇約數(shù)=a和2b的公共奇約數(shù)=2a和b的公共奇約數(shù)．
所以由規(guī)則①知，跳躍不改變前后兩數(shù)的公共奇約數(shù)．
又由規(guī)則②知，跳躍不改變前后兩數(shù)的最大公約數(shù)．
所以而按規(guī)則①和規(guī)則②跳躍，均不改變坐標(biāo)前后兩數(shù)的公共奇約數(shù)．
由此可排除不能到達(dá)的點(diǎn)．
解答：解：（1）能到達(dá)點(diǎn)（3，5）和點(diǎn)（200，6）．
從（1，1）出發(fā)到（3，5）的路徑為：
（1，1）→（2，1）→（4，1）→（3，1）→（3，2）
→（3，4）→（3，8）→（3，5）．
從（1，1）出發(fā)到（200，6）的路徑為：
（1，1）→（1，2）→（1，4）→（1，3）→（1，6）→（2，6）→（4，6）
→（8，6）→（16，6）→（10，6）→（20，6）→（40，6）→（80，6）
→（160，6）→（320，6）→（前面的數(shù)反復(fù)減20次6）→（200，6）；

（2）不能到達(dá)點(diǎn)（12，60）和（200，5）．
理由如下：
∵a和b的公共奇約數(shù)=a和2b的公共奇約數(shù)=2a和b的公共奇約數(shù)，
∴由規(guī)則①知，跳躍不改變前后兩數(shù)的公共奇約數(shù)．
∵如果a＞b，a和b的最大公約數(shù)=（a-b）和b的最大公約數(shù)，
如果a＜b，a和b的最大公約數(shù)=（b-a）和b的最大公約數(shù)，
∴由規(guī)則②知，跳躍不改變前后兩數(shù)的最大公約數(shù)．
從而按規(guī)則①和規(guī)則②跳躍，均不改變坐標(biāo)前后兩數(shù)的公共奇約數(shù)．
∵1和1的公共奇約數(shù)為1，12和60的公共奇約數(shù)為3，200和5的公共奇約數(shù)為5．
∴從（1，1）出發(fā)不可能到達(dá)給定點(diǎn)（12，60）和（200，5）．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了學(xué)生對(duì)公約數(shù)及公約奇數(shù)的理解和掌握，此題解題的關(guān)鍵是著重分析規(guī)則運(yùn)用公約數(shù)解答．此題較難，是好題，能培養(yǎng)學(xué)生的分析判斷能力．