Question

已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，對(duì)角線AC、BD互相垂直，P、Q、R、S分別為AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，則四邊形PQRS是（ ）

A．梯形
B．矩形
C．菱形
D．正方形

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半可得PS∥BD，PS=BD，QR∥BD，QR=BD，同理可得PQ∥AC，PQ=AC，SR∥AC，SR=AC，再根據(jù)等腰梯形的對(duì)角線相等可得AC=BD，然后證明四邊形PQRS是菱形，再根據(jù)平行線的性質(zhì)證明得到∠SPQ=90°，再根據(jù)有一個(gè)角是直角的菱形是正方形解答．
解答：解：∵P、Q、R、S分別為AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，
∴在△ABD中，PS∥BD，PS=BD，
在△BCD中，QR∥BD，QR=BD，
同理可得，PQ∥AC，PQ=AC，SR∥AC，SR=AC，
∵AD∥BC，AB=CD，
∴AC=BD，
∴SP=PQ=QR=SR，
∴四邊形PQRS是菱形，
又∵AC⊥BD，
∴∠BOC=90°，
∵PQ∥AC，
∴∠1=180°-∠BOC=180°-90°=90°，
∵PS∥BD，
∴∠SPQ=∠1=90°，
∴菱形PQRS是正方形．
故選D．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半，等腰梯形的對(duì)角線相等的性質(zhì)，正方形的判定，比較復(fù)雜但難度不大，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．