【題目】如圖,直線y=﹣ x+1與x軸交于點A,與y軸交于點B,拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過A,B兩點.

(1)求拋物線的解析式;
(2)點P是第一象限拋物線上的一點,連接PA、PB、PO,若△POA的面積是△POB面積的 倍.
①求點P的坐標(biāo);
②點Q為拋物線對稱軸上一點,請直接寫出QP+QA的最小值;
(3)點M為直線AB上的動點,點N為拋物線上的動點,當(dāng)以點O、B、M、N為頂點的四邊形是平行四邊形時,請直接寫出點M的坐標(biāo).

【答案】
(1)

解:∵直線y=﹣ x+1與x軸交于點A,與y軸交于點B,

∴A(2,0),B(0,1),

∵拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過A、B兩點,

,

∴拋物線解析式為y=﹣x2+ x+1


(2)

解:①由(1)知,A(2,0),B(0,1),

∴OA=2,OB=1,

由(1)知,拋物線解析式為y=﹣x2+ x+1,

∵點P是第一象限拋物線上的一點,

∴設(shè)P(a,﹣a2+ a+1),((a>0,﹣a2+ a+1>0),

∴SPOA= OA×Py= ×2×(﹣a2+ a+1)=﹣a2+ a+1

SPOB= OB×Px= ×1×a= a

∵△POA的面積是△POB面積的 倍.

∴﹣a2+ a+1= × a,

∴a= 或a=﹣ (舍)

∴P( ,1);

②如圖1,

由(1)知,拋物線解析式為y=﹣x2+ x+1,

∴拋物線的對稱軸為x= ,拋物線與x軸的另一交點為C(﹣ ,0),

∵點A與點C關(guān)于對稱軸對稱,

∴QP+QA的最小值就是PC= ;


(3)

①當(dāng)OB為平行四邊形的邊時,MN=OB=1,MN∥OB,

∵點N在直線AB上,

∴設(shè)M(m,﹣ m+1),

∴N(m,﹣m2+ m+1),

∴MN=|﹣m2+ m+1﹣(﹣ m+1)|=|m2﹣2m|=1,

Ⅰ、m2﹣2m=1,

解得,m=1± ,

∴M(1+ , (1﹣ ))或M(1﹣ (1+ ))

Ⅱ、m2﹣2m=﹣1,

解得,m=1,

∴M(1, );

②當(dāng)OB為對角線時,OB與MN互相平分,交點為H,

∴OH=BH,MH=NH,

∵B(0,1),O(0,0),

∴H(0, ),

設(shè)M(n,﹣ n+1),N(d,﹣d2+ d+1)

,

∴M(﹣(1+ ), (3+ ))或M(﹣(1﹣ ), (3﹣ ));

即:滿足條件的點M的坐標(biāo)(1+ , (1﹣ ))或(1﹣ ,﹣ (1+ ))或(1, )或M(﹣(1+ ), (3+ ))或M(﹣(1﹣ ), (3﹣ ))


【解析】(1)先確定出點A,B坐標(biāo),再用待定系數(shù)法求出拋物線解析式;(2)設(shè)出點P的坐標(biāo),①用△POA的面積是△POB面積的 倍,建立方程求解即可;②利用對稱性找到最小線段,用兩點間距離公式求解即可;(3)分OB為邊和為對角線兩種情況進(jìn)行求解,①當(dāng)OB為平行四邊形的邊時,用MN∥OB,表示和用MN=OB,建立方程求解;
②當(dāng)OB為對角線時,OB與MN互相平分,交點為H,設(shè)出M,N坐標(biāo)用OH=BH,MH=NH,建立方程組求解即可.

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