【題目】在正方形ABCD中,動點(diǎn)E,F分別從D,C兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā),以相同的速度在直線DC,CB上移動.

1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)E在邊DC上自DC移動,同時(shí)點(diǎn)F在邊CB上自CB移動時(shí),連接AEDF交于點(diǎn)P,請你寫出AEDF的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系,并說明理;

2)如圖2,當(dāng)E,F分別在邊CDBC的延長線上移動時(shí),連接AEDF,(1)中的結(jié)論還成立嗎?(請你直接回答,不需證明);連接AC,求ACE為等腰三角形時(shí)CECD的值;

3)如圖3,當(dāng)EF分別在直線DC,CB上移動時(shí),連接AEDF交于點(diǎn)P,由于點(diǎn)EF的移動,使得點(diǎn)P也隨之運(yùn)動,請你畫出點(diǎn)P運(yùn)動路徑的草圖.AD=2,試求出線段CP的最大值.

1 2 3

【答案】(1)AE=DFAEDF,理由見解析;(2)成立,CE:CD=2;(3

【解析】試題分析:(1)根據(jù)正方形的性質(zhì),由SAS先證得△ADE≌△DCF.由全等三角形的性質(zhì)得AE=DF,∠DAE=∠CDF,再由等角的余角相等可得AE⊥DF;

2有兩種情況:①當(dāng)AC=CE時(shí),設(shè)正方形ABCD的邊長為a,由勾股定理求出AC=CE=a即可;②當(dāng)AE=AC時(shí),設(shè)正方形的邊長為a,由勾股定理求出AC=AE=a,根據(jù)正方形的性質(zhì)知∠ADC=90°,然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出DE=CD=a即可;

3由(1)(2)知:點(diǎn)P的路徑是一段以AD為直徑的圓,設(shè)AD的中點(diǎn)為Q,連接QC交弧于點(diǎn)P,此時(shí)CP的長度最大,再由勾股定理可得QC的長,再求CP即可.

試題解析:1AE=DFAEDF,

理由是:∵四邊形ABCD是正方形,

AD=DCADE=DCF=90°,

∵動點(diǎn)E,F分別從DC兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā),以相同的速度在直線DC,CB上移動,

DE=CF,

ADEDCF

,

AE=DF,DAE=FDC,

∵∠ADE=90°,∴∠ADP+CDF=90°

∴∠ADP+DAE=90°,

∴∠APD=180°-90°=90°,

AEDF;

2)(1)中的結(jié)論還成立,

有兩種情況:

①如圖1,當(dāng)AC=CE時(shí),

設(shè)正方形ABCD的邊長為a,由勾股定理得,

,

;

②如圖2,當(dāng)AE=AC時(shí),

設(shè)正方形ABCD的邊長為a,由勾股定理得:

,

∵四邊形ABCD是正方形,

∴∠ADC=90°,即ADCE

DE=CD=a,

CE:CD=2a:a=2;

CE:CD=2;

3∵點(diǎn)P在運(yùn)動中保持∠APD=90°,

∴點(diǎn)P的路徑是以AD為直徑的圓,

如圖3,設(shè)AD的中點(diǎn)為Q,連接CQ并延長交圓弧于點(diǎn)P

此時(shí)CP的長度最大,

∵在RtQDC中,

,

即線段CP的最大值是.

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【題目】如圖,CABC,垂足為C,AC2cm,BC6cm,射線BMBQ,垂足為B,動點(diǎn)PC點(diǎn)出發(fā)以1cm/s的速度沿射線CQ運(yùn)動,點(diǎn)N為射線BM上一動點(diǎn),滿足PNAB,隨著P點(diǎn)運(yùn)動而運(yùn)動,當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動_____秒時(shí),△BCA與點(diǎn)P、N、B為頂點(diǎn)的三角形全等.

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求點(diǎn)A,B,C的坐標(biāo);

點(diǎn)M是直線AB上一動點(diǎn),當(dāng)最小時(shí),求點(diǎn)M的坐標(biāo);

點(diǎn)P、Q分別在直線ABBC上,是以RQ為斜邊的等腰直角三角形直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo).

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①求證:四邊形BFDE是菱形;

②直接寫出∠EBF的度數(shù).

2)把(1)中菱形BFDE進(jìn)行分離研究,如圖2G,I分別在BF,BE邊上,且BGBI,連接GDHGD的中點(diǎn),連接FH,并延長FHED于點(diǎn)J,連接IJ,IH,IF,IG.試探究線段IHFH之間滿足的關(guān)系,并說明理由;

3)把(1)中矩形ABCD進(jìn)行特殊化探究,如圖3,矩形ABCD滿足ABAD時(shí),點(diǎn)E是對角線AC上一點(diǎn),連接DE,作EFDE,垂足為點(diǎn)E,交AB于點(diǎn)F,連接DF,交AC于點(diǎn)G.請直接寫出線段AGGE,EC三者之間滿足的數(shù)量關(guān)系.

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1)請?jiān)趫D中畫出平移后的ABC

2)畫出平移后的ABC的中線BD

3)若連接BB,CC,則這兩條線段的關(guān)系是________

(4)ABC在整個(gè)平移過程中線段AB 掃過的面積為________

(5)若ABCABE面積相等,則圖中滿足條件且異于點(diǎn)C的格點(diǎn)E共有______個(gè)

(注:格點(diǎn)指網(wǎng)格線的交點(diǎn))

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