【題目】在平面直角坐標系中,已知拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)經(jīng)過點A(1,0).B(4,0),C(0,2)三點,直線y=kx+t經(jīng)過B.C兩點,點D是拋物線上一個動點,過點D作y軸的平行線,與直線BC相交于點E.
(1)求直線和拋物線的解析式;
(2)當點D在直線BC下方的拋物線上運動,使線段DE的長度最大時,求點D的坐標;
(3)點D在運動過程中,若使O.C.D.E為頂點的四邊形為平行四邊形時,請直接寫出滿足條件的所有點D的坐標.
【答案】(1)y=x2﹣x+2;(2)D(2,﹣1);(3)點D的坐標是(2,﹣1)或(2+2,3﹣)或(2﹣2,3+)時,都可以使O.C.D.E為頂點的四邊形為平行四邊形.
【解析】
(1)利用待定系數(shù)法求解可得;
(2)設點D坐標為(m,m2-m+2),則E點的坐標為(m,-m+2),由DE=(-m+2)-(m2-m+2)=-m2+2m=-(m-2)2+2可得答案;
(3)分點D在DE上方和下方兩種情況,用m的代數(shù)式表示出DE的長度,依據(jù)DE=2得出關(guān)于m的方程,解之可得.
(1)把點B(4,0),C(0,2)代入直線y=kx+t,
得:,解得,
∴y=﹣x+2;
把點A(1,0).B(4,0),C(0,2)代入y=ax2+bx+c,
得:,解得,
∴y=x2﹣x+2;
(2)設點D坐標為(m,m2﹣m+2),E點的坐標為(m,﹣m+2),
∴DE=(﹣m+2)﹣(m2﹣m+2)=﹣m2+2m=﹣(m﹣2)2+2,
∴當m=2時,DE的長最大,為2,
當m=2時,m2﹣m+2=﹣1,
∴D(2,﹣1);
(3)①當D在E下方時,如(2)中,DE=﹣m2+2m,OC=2,OC∥DE,
∴當DE=OC時,四邊形OCED為平行四邊形,
則﹣m2+2m=2,解得m=2,此時D(2,﹣1);
②當D在E上方時,DE=(m2﹣m+2)﹣(﹣m+2)=m2﹣2m,
令m2﹣2m=2,解得m=2,
∴此時D(2+2,3﹣)或(2﹣2,3+),
綜上所述,點D的坐標是(2,﹣1)或(2+2,3﹣)或(2﹣2,3+)時,都可以使O.C.D.E為頂點的四邊形為平行四邊形.
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【題目】如圖,直線l1∥l2∥l3,一等腰直角三角形ABC的三個頂點A,B,C分別在l1,l2,l3上,∠ACB=90°,AC交l2與點D.已知l1與l2的距離為1,l2與l3的距離為3,則線段CD的長等于______.
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【題目】如圖,直線l1:y=x+12與x軸、y軸分別交于A、B兩點,直線l2與x軸、y軸分別交于C、B兩點,且AB:BC=3:4.
(1)求直線l2的解析式,并直接判斷△ABC的形狀(不需說明理由);
(2)如圖1,P為直線l1上一點,橫坐標為12,Q為直線l2上一動點,當PQ+CQ最小時,將線段PQ沿射線PA方向平移,平移后P、Q的對應點分別為P'、Q',當OQ'+BQ'最小時,求點Q'的坐標;
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【題目】為積極繪就我市“一福地、四名城”建設的宏偉藍圖,某鎮(zhèn)大力發(fā)展旅游業(yè),一店鋪專門售賣地方特產(chǎn)“曲山老鵝”,以往銷售數(shù)據(jù)表明,該“曲山老鵝”每天銷售數(shù)量y(只)與銷售單價x(元)滿足一次函數(shù)y=-x+110,每只“曲山老鵝”各項成本合計為20元/只.
(1)該店鋪“曲山老鵝”銷售單價x定為多少時,每天獲利最大?最大利潤是多少?
(2)該店店主關(guān)心教育,決定今后的一段時間從每天的銷售利潤中捐出200元給當?shù)貙W校作為本學期優(yōu)秀學生的獎勵資金,為了保證該店捐款后每天剩余利潤不低于4000元,試確定該“曲山老鵝”銷售單價的范圍.
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【題目】某區(qū)域為響應“綠水青山就是金山銀山”的號召,加強了綠化建設.為了解該區(qū)域群眾對綠化建設的滿意程度,某中學數(shù)學興趣小組在該區(qū)域的甲、乙兩個片區(qū)進行了調(diào)查,得到如下不完整統(tǒng)計圖.
請結(jié)合圖中信息,解決下列問題:
(1)此次調(diào)查中接受調(diào)查的人數(shù)為多少人,其中“非常滿意”的人數(shù)為多少人;
(2)興趣小組準備從“不滿意”的4位群眾中隨機選擇2位進行回訪,已知這4位群眾中有2位來自甲片區(qū),另2位來自乙片區(qū),請用畫樹狀圖或列表的方法求出選擇的群眾來自甲片區(qū)的概率.
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【題目】矩形ABCD中,AB=4,BC=3,點E為AB的中點,將矩形ABCD沿CE折疊,使得點B落到點F的位置.
(1)求證:AF∥CE.
(2)求AF的長度.
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【題目】為慶祝即將到來的“三月三”壯族傳統(tǒng)節(jié)日,某校舉行了書法比賽,賽后隨機抽查部分參賽同學的成績,并制作成如下圖表:
請根據(jù)如上圖表提供的信息,解答下列問題:
(1)這次隨機抽查了 名學生,表中的數(shù) . .
(2)請在圖中補全頻數(shù)分布直方圖;
(3)若繪制扇形統(tǒng)計圖,分數(shù)段所對應扇形的圓心角為 度;
(4)全校共有名學生參加比賽,估計該校成績范圍內(nèi)的學生有多少人?
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【題目】“如果二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸有兩個公共點,那么一元二次方程ax2+bx+c=0有兩個不相等的實數(shù)根.”請根據(jù)你對這句話的理解,解決下面問題:若m、n(m<n)是關(guān)于x的方程1﹣(x﹣a)(x﹣b)=0的兩根,且a<b,則a、b、m、n的大小關(guān)系是( ).
A. B.
C. D.
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【題目】關(guān)于x的一元二次方程x2+3x+m-1=0的兩個實數(shù)根分別為x1,x2.
(1)求m的取值范圍.
(2)若2(x1+x2)+ x1x2+10=0.求m的值.
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