Question

（2011•延平區(qū)質(zhì)檢）如圖，RT△ABC中，∠ABC=90°，以AB為直徑的⊙O交AC于點D，E為BC的中點，連接DE．
（1）求證：DE為圓的切線；
（2）若BC=5，sin∠C=

3

5

，求AD的長．

Answer 1

分析：（1）連接OD、BD，根據(jù)圓周角定理求出∠BDA=∠BDC=90°，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)求出∠ECD=∠EDC，∠EBD=∠EDB即可．
（2）根據(jù)BC=5，sin∠C=

3

5

，求出AC的長，再根據(jù)切割線定理求出AD的長即可．

解答：（1）證明：連接OD、BD，
∵AB為圓O的直徑，
∴∠BDA=90°，
∴∠BDC=180°-90°=90°，
∵E為BC的中點，
∴DE=

1

2

BC=BE，
∴∠EBD=∠EDB，
∵OD=OB，
∴∠OBD=∠ODB，
∵∠EBD+∠DBO=90°，
∴∠EDB+∠ODB=90°，
∴∠ODE=90°，
∴DE是圓0的切線．

（2）解：∵sin∠C=

3

5

，
∴設(shè)AB=3x，AC=5x，
根據(jù)勾股定理得：（3x）²+5²=（5x）²，
解得x=

5

4

．
AC=5×

5

4

=

25

4

．
由切割線定理可知：5²=（

25

4

-AD）

25

4

，
解得，AD=

9

4

．

點評：本題主要考查對勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)，切線的判定，圓周角定理，銳角三角函數(shù)等知識點的理解和掌握，能綜合運用這些性質(zhì)進行推理是解此題的關(guān)鍵．