【題目】如圖,AB是O的直徑,經(jīng)過圓上點D的直線CD恰使ADC=B.

(1)求證:直線CD是O的切線;

(2)過點A作直線AB的垂線交BD的延長線于點E,且AB=5,BD=2,求線段AE的長.

【答案】(1)見解析(1)

【解析】

試題分析:(1)連結(jié)OD,由OD=OB得ODB=B,而ADC=B,則ODB=ADC;再根據(jù)圓周角定理得ADB=90°,則ADO+ADC=90°,即ODC=90°,然后根據(jù)切線的判定定理即可得到直線CD是O的切線;

(2)先根據(jù)勾股定理計算出DA=,再根據(jù)三角形相似的判定方法證明EAB∽△ADB,然后利用相似比即可計算出AE的長.

(1)證明:連結(jié)OD,如圖,

OD=OB,

∴∠ODB=B,

∵∠ADC=B,

∴∠ODB=ADC;

AB是O的直徑,

∴∠ADB=ADO+ODB=90°,

∴∠ADO+ADC=90°,

ODC=90°,

ODCD,

直線CD是O的切線;

(2)解:在RtABD中,AB=5,BD=2,

DA==

AEAB,

∴∠EAB=90°,

∵∠ABE=DBA,

∴△EAB∽△ADB,

=,即=

AE=

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