Question

已知拋物線y=x²+bx+c的圖象過A（0，1）、B（-1，0）兩點(diǎn)，直線l：x=-2與拋物線相交于點(diǎn)C，拋物線上一點(diǎn)M從B點(diǎn)出發(fā)，沿拋物線向左側(cè)運(yùn)動(dòng)．直線MA分別交對稱軸和直線l于D、P兩點(diǎn)．設(shè)直線PA為y=kx+m．用S表示以P、B、C、D為頂點(diǎn)的多邊形的面積．
（1）求拋物線的解析式，并用k表示P、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)0＜k≤1時(shí)，求S與k之間的關(guān)系式；
（3）當(dāng)k＜0時(shí)，求S與k之間的關(guān)系式．是否存在k的值，使得以P、B、C、D為頂點(diǎn)的多邊形為平行四邊形？若存在，求此時(shí)k的值；若不存在，請說明理由；
（4）若規(guī)定k=0時(shí)，y=m是一條過點(diǎn)（0，m）且平行于x軸的直線．當(dāng)k≤1時(shí)，請?jiān)谙旅娼o出的直角坐標(biāo)系中畫出S與k之間的函數(shù)圖象．求S的最小值，并說明此時(shí)對應(yīng)的以P、B、C、D為頂點(diǎn)的多邊形的形狀．

Answer 1

分析：（1）將A、C的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中，即可求得待定系數(shù)的值，從而確定該拋物線的解析式和對稱軸方程；由于直線PA將該點(diǎn)A，可將其坐標(biāo)代入直線PA的解析式中，即可得到m的值，易求得D、P的橫坐標(biāo)，將它們代入直線PA的解析式中，即可求得P、D的坐標(biāo)．
（2）易求得點(diǎn)C（-2，1），根據(jù)（1）所得P點(diǎn)坐標(biāo)可知，當(dāng)0＜k≤1時(shí)，點(diǎn)P位于C點(diǎn)下方，根據(jù)C、P的縱坐標(biāo)即可得到CP的長，而BD的長等于點(diǎn)D的縱坐標(biāo)，即可由梯形的面積公式求得四邊形PBDC的面積，由此可得關(guān)于S、k的函數(shù)關(guān)系式．
（3）當(dāng)k＜0時(shí)，P點(diǎn)位于C點(diǎn)上方，求S、k的函數(shù)關(guān)系式同（2）完全相同，不同的只是CP的表達(dá)式．若以P、B、C、D為頂點(diǎn)的多邊形為平行四邊形，已知了PC∥BD，只需滿足PC=BD即可，可根據(jù)這個(gè)等量關(guān)系列出關(guān)于k的方程，求出此時(shí)k的值．
（4）當(dāng)k=0時(shí)，P、C重合，此時(shí)PD=DB=1，即S為定值

1

2

，聯(lián)立（2）（3）所得結(jié)論，即可得到k≤1時(shí)S、k的函數(shù)關(guān)系式．結(jié)合函數(shù)關(guān)系式即可畫出S、k的函數(shù)圖象，根據(jù)函數(shù)圖象即可判斷出S的最小值以及對應(yīng)的k的值，進(jìn)而可確定出此時(shí)多邊形的形狀．

解答：解：（1）由題意得

c=1 1-b+c=0

，
解之得c=1，b=2，
所以二次函數(shù)的解析式為：y=x²+2x+1；
由于直線y=kx+m經(jīng)過點(diǎn)A（0，1），
∴m=1，∴y=kx+1；
當(dāng)x=-2時(shí)，y=-2k+1，
當(dāng)x=-1時(shí)，y=-k+1，
∴P（-2，-2k+1），D（-1，-k+1）．

（2）在y=x²+2x+1中，當(dāng)x=-2時(shí)，y=4-4+1=1，
∴點(diǎn)C坐標(biāo)為（-2，1），
當(dāng)0＜k≤1時(shí)，CP=1-（-2k+1）=2k，BD=-k+1，
∴S=

2k-k+1

2

=

1

2

k+

1

2

．

（3）當(dāng)k＜0時(shí)，CP=-2k+1-1=-2k，BD=-k+1，
∴S=

-2k-k+1

2

=-

3

2

k+

1

2

；
存在k的值，使四邊形PDBC是平行四邊形，
當(dāng)PC=DB時(shí)，即-2k=-k+1，
∴k=-1；
∴當(dāng)k=-1時(shí)，四邊形PDBC是平行四邊形．

（4）當(dāng)k≤1時(shí)，S、k的函數(shù)關(guān)系式為：
S=

1 2 k+ 1 2 (0＜k≤1) 1 2 (k=0) - 3 2 k+ 1 2 (k＜0)

由題意得S=

1 2 k+ 1 2 (0＜k≤1) - 3 2 k+ 1 2 (k≤0)

；
圖象如圖所示：
由圖象可知，S的最小值為S=

1

2

，
此時(shí)對應(yīng)的多邊形是一個(gè)等腰直角三角形．

點(diǎn)評：此題考查了二次函數(shù)解析式的確定、函數(shù)圖象交點(diǎn)坐標(biāo)的求法、圖形面積的求法、分段函數(shù)的應(yīng)用以及分類討論的數(shù)學(xué)思想，綜合性強(qiáng)，難度較大．