Question

（2012•淮濱縣模擬）如圖1，已知拋物線經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O和x軸上另一點(diǎn)E，頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2，4）；矩形ABCD的頂點(diǎn)A與點(diǎn)O重合，AD、AB分別在x軸、y軸上，且AD=2，AB=3．
（1）求該拋物線的函數(shù)解析式；
（2）將矩形ABCD以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度從圖1所示的位置沿x軸的正方向勻速平行移動(dòng)，同時(shí)一動(dòng)點(diǎn)P也以相同的速度從點(diǎn)A出發(fā)向B勻速移動(dòng)，設(shè)它們運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒（0≤t≤3），直線AB與該拋物線的交點(diǎn)為N（如圖2所示）．
①當(dāng)t=2秒時(shí)，判斷點(diǎn)P是否在直線ME上，并說明理由；
②設(shè)以P、N、C、D為頂點(diǎn)的多邊形面積為S，試問S是否存在最大值？若存在，求出這個(gè)最大值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）設(shè)出拋物線的頂點(diǎn)式y(tǒng)=a（x-2）²+4，將原點(diǎn)的坐標(biāo)代入解析式就可以求出a的值，從而求出函數(shù)的解析式．
（2）①由（1）中拋物線的解析式可以求出E點(diǎn)的坐標(biāo)，從而可以求出ME的解析式，再將P點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線的解析式就可以判斷P點(diǎn)是否在直線ME上．
②設(shè)出點(diǎn)N（t，-（t-2）²+4），可以表示出PN的值，根據(jù)梯形的面積公式可以表示出S與t的函數(shù)關(guān)系式，從而可以求出結(jié)論．

解答：解：（1）設(shè)拋物線的解析式為：y=a（x-2）²+4，則有
0=4a+4，
∴a=-1，
∴拋物線的解析式為：y=-（x-2）²+4；

（2）①∵y=-（x-2）²+4，
∴當(dāng)y=0時(shí)，-（x-2）²+4=0，
∴x₁=0，x₂=4，
∴E（4，0），
設(shè)直線ME的解析式為：y=kx+b，則

4=2k+b 0=4k+b

，
解得：

k=-2 b=8

，
∴直線ME的解析式為：y=-2x+8，
∴當(dāng)t=2時(shí)，P（2，2），
∴當(dāng)x=2時(shí)，y=4=4，
∴當(dāng)t=2時(shí)，點(diǎn)P不在直線ME上．

②設(shè)點(diǎn)N（t，-（t-2）²+4），則P（t，t），
∴PN=-t²+3t，
∵AD=2，AB=3
∴S=

(-t2+3t+3)×2

2

=-t²+3t+3，
∴S=-（t²-3t+

9

4

-

9

4

）+3=-（t-

3

2

）²+

21

4

∴當(dāng)t=

3

2

時(shí)，S的最大值是

21

4

．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的最值，三角形的面積公式的運(yùn)用，梯形的面積公式的運(yùn)用．根據(jù)幾何關(guān)系巧妙設(shè)點(diǎn)，把面積用t表示出來，轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題是解題關(guān)鍵．