Question

【題目】如圖1，在矩形紙片中，，，折疊紙片使點(diǎn)落在邊上的處，折痕為，過(guò)點(diǎn)作交于，連接．

（1）求證：四邊形為菱形；

（2）當(dāng)點(diǎn)在邊上移動(dòng)時(shí)，折痕的端點(diǎn)也隨之移動(dòng)；

①當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)（如圖2），求菱形的邊長(zhǎng)；

②若限定分別在邊上移動(dòng)，求出點(diǎn)在邊上移動(dòng)的最大距離．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）①，②

【解析】

（1）根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)得到，，，再由平行線的性質(zhì)得到，從而得到，由“等角對(duì)等邊”得到EP=EF，進(jìn)而得出即可；
（2）①先由折疊得：EC＝BC＝10，利用勾股定理得：ED＝8，設(shè)PE＝x，則PB＝x，AP＝6x，Rt△APE中，由勾股定理得：（6x）2＋22＝x2，解出即可；
②當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)C重合時(shí)，點(diǎn)E離點(diǎn)A最近，由①知，此時(shí)AE＝2cm；當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí)，點(diǎn)E離點(diǎn)A最遠(yuǎn)，AE＝AB＝6cm，即可得出答案；

解：（1）證明：折疊紙片使點(diǎn)落在邊上的處，折痕為，

點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱，

，，，

又，

，

，

，

，

四邊形為菱形；

（2）解：①四邊形是矩形，

，，，

點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱，點(diǎn)C與點(diǎn)Q重合，

，

在中，，

；

在中，，，

，

解得：，

菱形的邊長(zhǎng)為；

②當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，如圖2；

點(diǎn)離點(diǎn)最近，由①知，此時(shí)；

當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，如圖3所示：

點(diǎn)離點(diǎn)最遠(yuǎn)，此時(shí)四邊形為正方形，，

點(diǎn)在邊上移動(dòng)的最大距離為6-2=.