【題目】如圖甲,在△ABC中,∠ACB為銳角,點(diǎn)D為射線BC上一動(dòng)點(diǎn),連接AD,以AD為一邊且在AD的右側(cè)作正方形ADEF.解答下列問(wèn)題:
(1)如果AB=AC,∠BAC=90°, ①當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)(與點(diǎn)B不重合),如圖乙,線段CF、BD之間的位置關(guān)系為 , 數(shù)量關(guān)系為
②當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線上時(shí),如圖丙,①中的結(jié)論是否仍然成立,為什么?

(2)如果AB≠AC,∠BAC≠90°點(diǎn)D在線段BC上運(yùn)動(dòng).試探究:當(dāng)△ABC滿足一個(gè)什么條件時(shí),CF⊥BC(點(diǎn)C、F重合除外)?并說(shuō)明理由.

【答案】
(1)垂直;相等;解:成立,理由如下: ∵∠FAD=∠BAC=90°
∴∠BAD=∠CAF
在△BAD與△CAF中,

∴△BAD≌△CAF(SAS)
∴CF=BD,∠ACF=∠ACB=45°,
∴∠BCF=90°
∴CF⊥BD
(2)解:當(dāng)∠ACB=45°時(shí)可得CF⊥BC,理由如下:

過(guò)點(diǎn)A作AC的垂線與CB所在直線交于G

則∵∠ACB=45°

∴AG=AC,∠AGC=∠ACG=45°

∵AG=AC,AD=AF,

∵∠GAD=∠GAC﹣∠DAC=90°﹣∠DAC,∠FAC=∠FAD﹣∠DAC=90°﹣∠DAC,

∴∠GAD=∠FAC,

∴△GAD≌△CAF(SAS)

∴∠ACF=∠AGD=45°

∴∠GCF=∠GCA+∠ACF=90°

∴CF⊥BC


【解析】解:(1)①CF⊥BD,CF=BD 所以答案是:垂直、相等.
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解等腰三角形的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí),掌握等腰三角形的兩個(gè)底角相等(簡(jiǎn)稱(chēng):等邊對(duì)等角),以及對(duì)正方形的性質(zhì)的理解,了解正方形四個(gè)角都是直角,四條邊都相等;正方形的兩條對(duì)角線相等,并且互相垂直平分,每條對(duì)角線平分一組對(duì)角;正方形的一條對(duì)角線把正方形分成兩個(gè)全等的等腰直角三角形;正方形的對(duì)角線與邊的夾角是45o;正方形的兩條對(duì)角線把這個(gè)正方形分成四個(gè)全等的等腰直角三角形.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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1)如圖,若AB=BC,則DE,EF有什么數(shù)量關(guān)系?請(qǐng)給出證明.

2)如圖,若CAB=30°,則DE,EF又有什么數(shù)量關(guān)系?請(qǐng)給出證明.

3)由(1)、(2)這兩種特殊情況,小明提出問(wèn)題:如果在矩形ABCD中,BC=mAB,那DEEF有什么數(shù)量關(guān)系?請(qǐng)給出證明.

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1)求該雙曲線所表示的函數(shù)解析式;

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