Question

【題目】已知：如圖，在中，，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)．以為直徑作圓，交邊于點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)．

求證：是圓的切線；

當(dāng)時(shí)，求證：；

如圖，當(dāng)是圓的切線，為中點(diǎn)，，求的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）；（3）．

【解析】

（1）根據(jù)等腰三角形的三線合一的性質(zhì)可得AD⊥BD，即可判定是圓的切線；（2）連接PD，根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角可得∠BPD=90°，即可得PD∥AC；已知點(diǎn)D是邊BC的中點(diǎn)，可得=BC；再由，可判定△BPD∽△BAC、△PED∽△CEA，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得，，即可證得；（3）（3）連接OP，可求得，，；根據(jù)切線的性質(zhì)可得．根據(jù)由勾股定理求得；在中可，在Rt中，，由此求得．即可求得．

根據(jù)三角函數(shù)可求得PC，CD的長(zhǎng)，再在RT△ADE中利用三角函數(shù)求得DE的長(zhǎng)，進(jìn)而得出AD的長(zhǎng)．

證明：∵，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，

∴．

又∵是圓直徑，

∴是圓的切線．

證明：連接，則∠BPD=90°，

∵，

∴，

∵點(diǎn)D是邊BC的中點(diǎn)，

∴=BC，

∵，

∴△BPD∽△BAC，△PED∽△CEA，

∴ ，

∴；

連接，

由，得，，，

∵是圓的切線，為圓心，

∴．∴由勾股定理，得，

在中，，

在中，，．

∵為中點(diǎn)，

∴．