【題目】、的切線,切點分別為點、,延長于點,交的延長線于點,連接、交于點

1)如圖1,求證:

2)如圖2,點是弧的中點,連接AD于點,求證:;

3)如圖3,在(2)的條件下:連接并延長交于點,連接于點,若,求線段的長.

【答案】1)詳見解析;(2)詳見解析;(3

【解析】

(1)由切線長定理可得CA=CB,∠ACO=BCO=ACB,∠CAO=90°,由等腰三角形的性質(zhì)和余角的性質(zhì)可得結論;
(2)由等弧所對的圓周角相等可得∠ABP=DBP,由余角的性質(zhì)和外角的性質(zhì)可得∠EBF=BFE,可得BE=FE;
(3)如圖3,連接BD,由全等三角形的性質(zhì)和平行線分線段成比例可求BE=4,BC=AD=6=AC,OF=1,FD=2,AO=DO=3,以點A為原點,AEx軸,ACy軸,建立平面直角坐標系,分別求出直線FM,PH解析式,可求點H,點N的坐標,即可求解.

(1)CA、CB為⊙O的切線,切點分別為A、B,
CA=CB,∠ACO=BCO=ACB,∠CAO=90°,COAB,
∴∠CAM+ACM=90°,且∠CAM+BAO=90°
∴∠BAO=ACM,
∴∠BAO=ACB
(2)連接BD,BO

∵點P是弧AD的中點,
=
∴∠ABP=DBP,
OA=OB,
∴∠OAB=OBA,
CE是⊙O切線,
∴∠OBE=90°,
AD是直徑,
∴∠ABD=90°=OBE,
∴∠ABO=DBE=OAB,
∵∠EBF=PBD+DBE,∠BFE=OAB+ABF,
∴∠EBF=BFE,
BE=FE;
(3)如圖3,連接BD,

DF=2OF,
AO=DO=3OF,
AF=4OF,
∵∠ABP=PBD
,
BD=,則AB=,
OCAB
AM=BM=AB==BD,
AO=DO,AM=BM,
OM=BD=,BDMO,
∴∠BCO=DBE=OAB,且BM=BD,∠CMB=ABD=90°,
∴△CMB≌△ABD(AAS),
CM=AB=2BC=AD,
CO=CM+OM=,
BDCO,
,

BE=4,
BC=CE-BE=6

BC=AD=6=AC
AO=DO=3,OF=1,FD=2,
如圖,以點A為原點,AE軸,ACy軸,建立平面直角坐標系,

∴點A(0,0),點O(3,0)C(0,6),點F(4,0),

O半徑AO=DO=3,且=,

∴點P的坐標為(3,-3)

CO=CM+OM=,OM=CM=2
,,

,,
∴點M的坐標為(,),

設直線FM的解析式為,

解得:,
∴直線FM的解析式為:
∴點H坐標為(0,3),
設直線PH解析式為

,

解得:

∴直線PH解析式為:,
∴點N的坐標為(0)
AH=3,AN=,

練習冊系列答案
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①點的坐標為 (用含的代數(shù)式表示,結果需化簡)

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分數(shù)段

班級數(shù)

1

2

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8

b

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平均數(shù)

中位數(shù)

眾數(shù)

極差

79

c

82

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