Question

（2012•嘉定區(qū)一模）如圖，已知等邊△ABC的邊長(zhǎng)為6，點(diǎn)D是邊BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，折疊△ABC，使得點(diǎn)A恰好與邊BC上的點(diǎn)D重合，折痕為EF（點(diǎn)E、F分別在邊AB、AC上）．
（l）當(dāng)AE：AF=5：4時(shí)，求BD的長(zhǎng)；
（2）當(dāng)ED⊥BC時(shí)，求EB的值；
（3）當(dāng)以B、E、D為頂點(diǎn)的三角形與△DEF相似時(shí)，求BE的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到∠A=60°，∠B=60°，∠C=60°，則∠BDE+∠BED=120°，根據(jù)折疊的性質(zhì)得∠EDF=∠A=60°，AE=DE，AF=DF，則∠BDE+∠FDC=120°，得到∠BDE=∠DFC，根據(jù)三角形相似的判定得△BED∽△CDF，根據(jù)相似的性質(zhì)有

BD

FC

=

DE

FD

=

BE

DC

；設(shè)AE=DE=5x，AF=FD=4x，BE=6-5x，F(xiàn)C=6-4x，則BD=

5

4

FC=

5

4

（6-4x），DC=

4

5

BE=

4

5

（6-5x），即有

5

4

（6-4x）+

4

5

（6-5x）=6，解出x即可計(jì)算出BD的長(zhǎng)；
（2）由ED⊥BC，得到∠BDE=90°，而∠B=60°，AB=6，BE=x，則AE=ED=6-x，利用60°的正弦得到sin60°=

ED

BE

=

3

2

，則6-x=

3

2

x，解方程即可；
（3）討論：當(dāng)△BED∽△DEF，則

BE

DE

=

BD

DF

，即

BE

BD

=

DE

DF

，由（1）得△BED∽△CDF，

BD

FC

=

DE

FD

=

BE

DC

，則

BE

BD

=

BE

DC

，所以BD=DC，則AD垂直平分BC，得到EF為△ABC的中位線，即可求出BE；當(dāng)△BDE∽△DEF，得到∠BDE=∠DEF，則EF∥BC，也得到EF為△ABC的中位線，即可求出BE．

解答：解：（1）∵三角形ABC為等邊三角形，
∴∠A=60°，∠B=60°，∠C=60°，
∴∠BDE+∠BED=120°，
又∵折疊△ABC，使得點(diǎn)A恰好與邊BC上的點(diǎn)D重合，折痕為EF，
∴∠EDF=∠A=60°，AE=DE，AF=DF，
∴∠BDE+∠FDC=120°，
∴∠BDE=∠DFC，
∴△BED∽△CDF，
∴

BD

FC

=

DE

FD

=

BE

DC

，
當(dāng)AE：AF=5：4，設(shè)AE=DE=5x，AF=FD=4x，BE=6-5x，F(xiàn)C=6-4x，
∴

BD

FC

=

5

4

=

BE

DC

，
∴BD=

5

4

FC=

5

4

（6-4x），DC=

4

5

BE=

4

5

（6-5x）
∴BD+DC=6，即

5

4

（6-4x）+

4

5

（6-5x）=6，
解得x=

7

10

，
∴BD=

5

4

（6-4×

7

10

）=4；

（2）如圖，
∵ED⊥BC，
∴∠BDE=90°，
而∠B=60°，AB=6，
設(shè)BE=x，則AE=ED=6-x，
∴sinB=sin60°=

ED

BE

=

3

2

，
∴6-x=

3

2

x，
解得x=12（2-

3

），
∴BE=24-12

3

；

（3）∵以B、E、D為頂點(diǎn)的三角形與△DEF相似，
當(dāng)△BED∽△DEF，
∴

BE

DE

=

BD

DF

，即

BE

BD

=

DE

DF

，
又∵△BED∽△CDF，
∴

BD

FC

=

DE

FD

=

BE

DC

，
∴

BE

BD

=

BE

DC

，
∴BD=DC，
∴AD垂直平分BC，
∴EF為△ABC的中位線，
∴BE=3；
當(dāng)△BDE∽△DEF，
∴∠BDE=∠DEF，
∴EF∥BC，
而EF垂直平分AD，
∴EF為△ABC的中位線，
∴BE=3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)：有兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似；相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等．也考查了折疊的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)．