【題目】如圖,BD是正方形ABCD的對(duì)角線,BC=2,邊BC在其所在的直線上平移,將通過(guò)平移得到的線段記為PQ,連接PA、QD,并過(guò)點(diǎn)Q作QO⊥BD,垂足為O,連接OA、OP.

(1)請(qǐng)直接寫(xiě)出線段BC在平移過(guò)程中,四邊形APQD是什么四邊形?
(2)請(qǐng)判斷OA、OP之間的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系,并加以證明;
(3)在平移變換過(guò)程中,設(shè)y=SOPB , BP=x(0≤x≤2),求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式,并求出y的最大值.

【答案】
(1)

四邊形APQD為平行四邊形;


(2)

OA=OP,OA⊥OP,理由如下:

∵四邊形ABCD是正方形,

∴AB=BC=PQ,∠ABO=∠OBQ=45°,

∵OQ⊥BD,

∴∠PQO=45°,

∴∠ABO=∠OBQ=∠PQO=45°,

∴OB=OQ,

在△AOB和△OPQ中,

∴△AOB≌△POQ(SAS),

∴OA=OP,∠AOB=∠POQ,

∴∠AOP=∠BOQ=90°,

∴OA⊥OP;


(3)

過(guò)O作OE⊥BC于E.

①如圖1,當(dāng)P點(diǎn)在B點(diǎn)右側(cè)時(shí),

則BQ=x+2,OE= ,

∴y= × x,即y= (x+1)2

又∵0≤x≤2,

∴當(dāng)x=2時(shí),y有最大值為2;

②如圖2,當(dāng)P點(diǎn)在B點(diǎn)左側(cè)時(shí),

則BQ=2﹣x,OE= ,

∴y= × x,即y=﹣ (x﹣1)2+ ,

又∵0≤x≤2,

∴當(dāng)x=1時(shí),y有最大值為 ;

綜上所述,∴當(dāng)x=2時(shí),y有最大值為2;


【解析】(1)根據(jù)平移的性質(zhì),可得PQ,根據(jù)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形,可得答案;(2)根據(jù)正方形的性質(zhì),平移的性質(zhì),可得PQ與AB的關(guān)系,根據(jù)等腰直角三角形的判定與性質(zhì),可得∠PQOPQO,根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì),可得AO與OP的數(shù)量關(guān)系,根據(jù)余角的性質(zhì),可得AO與OP的位置關(guān)系;(3)根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì),可得OE的長(zhǎng),根據(jù)三角形的面積公式,可得二次函數(shù),根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì),可得到答案.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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證明:∵ADBC,EFBC(   ),

∴∠EFB=ADB=90°(垂直的定義)

EF      

∴∠1=      

又∵∠1=2(已知)

      

DGAB(   

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請(qǐng)將上述資料中的數(shù)據(jù)按下列步驟進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析.

1)整理數(shù)據(jù):請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)統(tǒng)計(jì)表,將以上數(shù)據(jù)填入表格中.

2)描述數(shù)據(jù):下圖是描述全省各級(jí)各類學(xué)校數(shù)的扇形統(tǒng)計(jì)圖,請(qǐng)將它補(bǔ)充完整.

3)分析數(shù)據(jù):

分析統(tǒng)計(jì)表中的相關(guān)數(shù)據(jù),小學(xué)、初中、高中三個(gè)學(xué)段的師生比,最小的是哪個(gè)學(xué)段?請(qǐng)直接寫(xiě)出.(師生比=在職教師數(shù)在校學(xué)生數(shù))

根據(jù)統(tǒng)計(jì)表中的相關(guān)數(shù)據(jù),你還能從其它角度分析得出什么結(jié)論嗎?(寫(xiě)出一個(gè)即可)

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