【題目】如圖,矩形ABCD中,AB=6,AD=8.動點E,F同時分別從點A,B出發(fā),分別沿著射線AD和射線BD的方向均以每秒1個單位的速度運動,連接EF,以EF為直徑作⊙O交射線BD于點M,設(shè)運動的時間為t.
(1)當(dāng)點E在線段AD上時,用關(guān)于t的代數(shù)式表示DE,DM.
(2)在整個運動過程中,
①連結(jié)CM,當(dāng)t為何值時,△CDM為等腰三角形.
②圓心O處在矩形ABCD內(nèi)(包括邊界)時,求t的取值范圍,并直接寫出在此范圍內(nèi)圓心運動的路徑長.
【答案】(1)(1)ED=8﹣t,MD=.(2)①t=或t=或t=;②0≤t≤,圓心運動的路徑長為
【解析】
(1)在Rt△ABD中,依據(jù)勾股定理可求得BD的長,然后依據(jù)MD=EDcos∠MDE,cos∠MDE=cos∠ADB=,由此即可解決問題.
(2)①可分為點E在AD上,點E在AD的延長線上畫出圖形,然后再依據(jù)MC=MD,CM=CD、DM=DC三種情況求解即可;
②當(dāng)t=0時,圓心O在AB邊上.當(dāng)圓心O在CD邊上時,過點E作EH∥CD交BD的延長線與點H.先求得DH的長,然后依據(jù)平行線分線段成比例定理可得到DF=DH,然后依據(jù)DF=DH列出關(guān)于t的方程,從而可求得t的值,故此可得到t的取值范圍.
解:(1)如圖1所示:連接ME.
∵AE=t,AD=8,
∴ED=AD-AE=8-t.
∵EF為⊙O的直徑,
∴∠EMF=90°.
∴∠EMD=90°.
∴MD=EDcos∠MDE=.
(2)①a、如圖2所示:連接MC.
當(dāng)DM=CD=6時,=6,解得t=;
b、如圖3所示:當(dāng)MC=MD時,連接MC,過點M作MN⊥CD,垂足為N.
∵MC=MD,MN⊥CD,
∴DN=NC.
∵MN⊥CD,BC⊥CD,
∴BC∥MN.
∴M為BD的中點.
∴MD=5,即=5,解得t=;
c、如圖4所示:CM=CD時,過點C作CG⊥DM.
∵CM=CD,CG⊥MD,
∴GD=MD=.
∵,
∴DG=CD=.
∴=.
解得:t=-1(舍去).
d、如圖5所示:當(dāng)CD=DM時,連接EM.
∵AE=t,AD=8,
∴DE=t-8.
∵EF為⊙O的直徑,
∴EM⊥DM.
∴DM=EDcos∠EDM=.
∴=6,解得:t=.
綜上所述,當(dāng)t=或t=或t=時,△DCM為等腰三角形.
②當(dāng)t=0時,圓心O在AB邊上.
如圖6所示:當(dāng)圓心O在CD邊上時,過點E作EH∥CD交BD的延長線與點H.
∵HE∥CD,OF=OE,
∴DF=DH.
∵DH==,DF=10-t,
∴=10-t.
解得:t=.
綜上所述,在整個運動過程中圓心O處在矩形ABCD內(nèi)(包括邊界)時,t的取值范圍為0≤t≤.
此時點O的運動路徑為OO1的長度,如圖:
過點O作OM⊥AB
當(dāng)t=時,DE=-8=
∵EH∥CD,AB∥CD
∴EH∥AB
∴△DEH∽△DAB
∴,即,解得EH=
∴OD=EH=
由題意可知四邊形ADOK是矩形
∴AK= OD =,OK=AD=8
∴O1K= O1A- AK=
在Rt△OKO1中,OO1=
∴圓心運動的路徑長為.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知拋物線與軸的一個交點.
(1)試分別求出這條拋物線與軸的另一個交點及與軸的交點的坐標(biāo).
(2)設(shè)拋物線的頂點為,請在圖中畫出拋物線的草圖,若點在直線上,試判斷點是否在經(jīng)過點的反比例函數(shù)的圖象上,并說明理由;
(3)試求的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在正方形中,是邊上的一點,,,將正方形邊沿折疊到,延長交于.連接,現(xiàn)在有如下四個結(jié)論:①;②;③∥;④; 其中結(jié)論正確的個數(shù)是( )
A.1B.2
C.3D.4
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】參照學(xué)習(xí)函數(shù)的過程與方法,探究函數(shù)的圖象與性質(zhì).因為,即,所以我們對比函數(shù)來探究.
列表:
… | -4 | -3 | -2 | -1 | 2 | 3 | 4 | … | ||||
… | 1 | 2 | 4 | -4 | -1 | … | ||||||
… | 2 | 3 | 5 | -3 | -1 | 0 | … |
描點:在平面直角坐標(biāo)系中,以自變量的取值為橫坐標(biāo),以相應(yīng)的函數(shù)值為縱坐標(biāo),描出相應(yīng)的點,如圖所示:
(1)①請補全表格,計算__________.
②請補全圖形,用一條光滑曲線順次連接起來;
(2)觀察圖象并分析表格,回答下列問題:
①當(dāng)時,隨的增大而__________;(填“增大”或“減小”)
②的圖象是由的圖象向__________平移__________
③圖象關(guān)于點__________中心對稱.(填點的坐標(biāo))
(3)結(jié)合函數(shù)圖象,當(dāng)時,求的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某高中學(xué)校為使高一新生入校后及時穿上合身的校服,現(xiàn)提前對某校九年級(1)班學(xué)生即將所穿校服型號情況進(jìn)行摸底調(diào)查,并根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制如圖兩個不完整的統(tǒng)計圖(校服型號以身高作為標(biāo)準(zhǔn),共分為6種型號).
根據(jù)以上信息,解答下列問題:
(1)該班共有多少名學(xué)生?
(2)在條形統(tǒng)計圖中,請把空缺部分補充完整;在扇形統(tǒng)計圖中,請計算185型校服所對應(yīng)的扇形圓心角的大;
(3)求該班學(xué)生所穿校服型號的眾數(shù)和中位數(shù).如果該高中學(xué)校準(zhǔn)備招收2000名高一新生,則估計需要準(zhǔn)備多少套180型號的校服?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】問題背景:如圖,四邊形中,,,,,,為邊上一動點,連接、.
問題探究
(1)如圖1,若,則的長為__________.
(2)如圖2,請求出周長的最小值;
(3)如圖3,過點作于點,過點分別作于,于點,連接
①是否存在點,使得的面積最大?若存在,求出面積的最大值,若不存在,請說明理由;
②請直接寫出面積的最小值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,直線交軸于點,交軸于點,若圖中陰影部分的三角形都是等腰直角三角形,則從左往右數(shù)第5個陰影三角形的面積是_____,第2019個陰影三角形的面積是_____.
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【題目】如圖,△ABC的頂點坐標(biāo)分別為A(﹣6,0),B(4,0),C(0,8),把△ABC沿直線BC翻折,點A的對應(yīng)點為D,拋物線y=ax2﹣10ax+c經(jīng)過點C,頂點M在直線BC上.
(1)證明四邊形ABCD是菱形,并求點D的坐標(biāo);
(2)求拋物線的對稱軸和函數(shù)表達(dá)式;
(3)在拋物線上是否存在點P,使得△PBD與△PCD的面積相等?若存在,直接寫出點P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
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