Question

（2012•武漢模擬）如圖，E為正方形ABCD的邊CD的中點，經過A、B、E三點的⊙O與邊BC交于點F，P為

AB

上任意一點．若正方形ABCD的邊長為4，則sin∠P的值為（　�。�

• A．

  2

  2

• B．

  3

  4

• C．

  3

  5

• D．

  1

  2

Answer 1

分析：首先連接AF，AE，EF，由四邊形ABCD是正方形，易得AF是直徑，繼而可證得△CFE∽△DEA，根據相似三角形的對應邊成比例，即可求得CF的長，繼而求得BF與AF的長，又由∠P=∠BAF，即可求得答案．

解答：解：連接AF，AE，EF，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠ABF=∠C=∠D=90°，
∴AF是⊙O的直徑，
∴∠AEF=90°，
∴∠FEC+∠CFE=90°，∠FEC+∠AED=90°，
∴∠CFE=∠DEA，
∴△CFE∽△DEA，
∴CF：DE=CE：AD，
∵AD=4，E是CD的中點，
∴DE=CE=2，
∴

CF

2

=

2

4

，
解得：CF=1，
∴BF=BC-CF=4-1=3，
∴AF=

AB2+BF2

=5，
∵∠P=∠BAF，
∴sin∠P=sin∠BAF=

BF

AF

=

3

5

．
故選C．

點評：此題考查了相似三角形的判定與性質、圓周角定理、正方形的性質以及直角三角形的性質．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數形結合思想的應用．