Question

【題目】如圖①，拋物線y＝x2﹣（a+1）x+a與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A位于點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C．已知△ABC的面積為6．

（1）求這條拋物線相應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；

（2）在拋物線上是否存在一點(diǎn)P，使得∠POB＝∠CBO，若存在，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；

（3）如圖②，M是拋物線上一點(diǎn)，N是射線CA上的一點(diǎn)，且M、N兩點(diǎn)均在第二象限內(nèi)，A、N是位于直線BM同側(cè)的不同兩點(diǎn)．若點(diǎn)M到x軸的距離為d，△MNB的面積為2d，且∠MAN＝∠ANB，求點(diǎn)N的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2+2x﹣3；（2）存在，點(diǎn)P坐標(biāo)為或；（3）點(diǎn)N的坐標(biāo)為（﹣4，1）

【解析】

（1）分別令y＝0 ,x＝0,可表示出A、B、C的坐標(biāo)，從而表示△ABC的面積，求出a的值繼而即可得二次函數(shù)解析式；

（2）如圖①，當(dāng)點(diǎn)P在x軸上方拋物線上時，平移BC所在的直線過點(diǎn)O交x軸上方拋物線于點(diǎn)P，則有BC∥OP，此時∠POB＝∠CBO，聯(lián)立拋物線得解析式和OP所在直線的解析式解方程組即可求解；當(dāng)點(diǎn)P在x軸下方時，取BC的中點(diǎn)D，易知D點(diǎn)坐標(biāo)為（，），連接OD并延長交x軸下方的拋物線于點(diǎn)P，由直角三角形斜邊中線定理可知，OD＝BD，∠DOB＝∠CBO即∠POB＝∠CBO，聯(lián)立拋物線的解析式和OP所在直線的解析式解方程組即可求解．

（3）如圖②，通過點(diǎn)M到x軸的距離可表示△ABM的面積，由S△ABM＝S△BNM，可證明點(diǎn)A、點(diǎn)N到直線BM的距離相等,即AN∥BM，通過角的轉(zhuǎn)化得到AM＝BN，設(shè)點(diǎn)N的坐標(biāo)，表示出BN的距離可求出點(diǎn)N．

（1）當(dāng)y＝0時，x2﹣（a+1）x+a＝0，

解得x1＝1，x2＝a，

當(dāng)x＝0，y＝a

∴點(diǎn)C坐標(biāo)為（0，a），

∵C（0，a）在x軸下方

∴a＜0

∵點(diǎn)A位于點(diǎn)B的左側(cè)，

∴點(diǎn)A坐標(biāo)為（a，0），點(diǎn)B坐標(biāo)為（1，0），

∴AB＝1﹣a，OC＝﹣a，

∵△ABC的面積為6，

∴，

∴a1＝﹣3，a2＝4（因?yàn)?/span>a＜0，故舍去），

∴a＝﹣3，

∴y＝x2+2x﹣3；

（2）設(shè)直線BC：y＝kx﹣3，則0＝k﹣3，

∴k＝3；

①當(dāng)點(diǎn)P在x軸上方時，直線OP的函數(shù)表達(dá)式為y＝3x，

則，

∴，，

∴點(diǎn)P坐標(biāo)為；

②當(dāng)點(diǎn)P在x軸下方時，直線OP的函數(shù)表達(dá)式為y＝﹣3x，

則

∴，，

∴點(diǎn)P坐標(biāo)為，

綜上可得，點(diǎn)P坐標(biāo)為或；

（3）如圖，過點(diǎn)A作AE⊥BM于點(diǎn)E，過點(diǎn)N作NF⊥BM于點(diǎn)F，設(shè)AM與BN交于點(diǎn)G，延長MN與x軸交于點(diǎn)H；

∵AB＝4，點(diǎn)M到x軸的距離為d，

∴S△AMB＝

∵S△MNB＝2d，

∴S△AMB＝S△MNB，

∴，

∴AE＝NF，

∵AE⊥BM，NF⊥BM，

∴四邊形AEFN是矩形，

∴AN∥BM，

∵∠MAN＝∠ANB，

∴GN＝GA，

∵AN∥BM，

∴∠MAN＝∠AMB，∠ANB＝∠NBM，

∴∠AMB＝∠NBM，

∴GB＝GM，

∴GN+GB＝GA+GM即BN＝MA，

在△AMB和△NBM中

∴△AMB≌△NBM（SAS），

∴∠ABM＝∠NMB，

∵OA＝OC＝3，∠AOC＝90°，

∴∠OAC＝∠OCA＝45°，

又∵AN∥BM，

∴∠ABM＝∠OAC＝45°，

∴∠NMB＝45°，

∴∠ABM+∠NMB＝90°，

∴∠BHM＝90°，

∴M、N、H三點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同，且BH＝MH，

∵M是拋物線上一點(diǎn)，

∴可設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（t，t2+2t﹣3），

∴1﹣t＝t2+2t﹣3，

∴t1＝﹣4，t2＝1（舍去），

∴點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為﹣4，

可設(shè)直線AC：y＝kx﹣3，則0＝﹣3k﹣3，

∴k＝﹣1，

∴y＝﹣x﹣3，

當(dāng)x＝﹣4時，y＝﹣（﹣4）﹣3＝1，

∴點(diǎn)N的坐標(biāo)為（﹣4，1）．