Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(﹣，0)，B(，0)，C(0，).D，E分別是線段AC和CB上的點(diǎn)，CD＝CE.將△CDE繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度α.

(1)若0°＜α＜90°，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中當(dāng)點(diǎn)A，D，E在同一直線上時(shí)，連接AD，BE，如圖2.求證：AD＝BE，且AD⊥BE

(2)若0°＜α＜360°，D，E恰好是線段AC和CB上的中點(diǎn)，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)DE∥AC時(shí)，求α的值及點(diǎn)E的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)α=45°時(shí)，點(diǎn)E的坐標(biāo)為(1，)；α=225°時(shí)，點(diǎn)E的坐標(biāo)為(﹣1，)

【解析】

(1)證明△ACD≌△BCE，可得AD＝BE，∠CAD＝∠CBE，則結(jié)論得證；

(2)由勾股定理求出AC長(zhǎng)，可求出CD 的長(zhǎng)，如圖1，當(dāng)α＝∠ACO＝45°時(shí)，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)為(1，)，如圖2，當(dāng)α＝∠ACD＝180°+∠ACO＝225°時(shí)，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)為(﹣1，).

(1)∵點(diǎn)A(﹣，0)，B(，0)，C(0，)，

∴OC垂直平分AB，OA＝OB＝OC，

∴AC＝BC，∠CAB＝∠CBA＝45°，∠ACB＝90°，

根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，∠ACD＝∠BCE，

又∵AC＝BC，CD＝CE，

∴△ACD≌△BCE(SAS)，

∴AD＝BE，∠CAD＝∠CBE，

∴∠BAE+∠ABE＝(∠CAB﹣∠CAD)+(∠ABC+∠CBE)＝90°，

∴∠AEB＝180°﹣(∠BAE+∠ABE)＝90°，即AD⊥BE；

(2)由(1)知，∠ACB＝90°，AC＝BC，

在Rt△AOC中，AC＝＝2，

∵D，E是線段AC和CB上的中點(diǎn)，

∴＝1，

如圖1，當(dāng)α＝∠ACO＝45°時(shí)，即∠ACO＝∠CDE＝45°，

∴AC∥DE，

此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)為(1，)，

如圖2，當(dāng)α＝∠ACD＝180°+∠ACO＝225°時(shí)，

即∠ACO＝∠CD′E′＝45°，

∴AC∥D′E′，

此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)為(﹣1，).