Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AC的垂直平分線分別與AC，BC及AB的延長線相交于點D，E，F，⊙O是△BEF的外接圓，∠EBF的平分線交EF于點G，交⊙O于點H，連接BD，FH．

（1）試判斷BD與⊙O的位置關系，并說明理由；

（2）當AB＝BE＝1時，求⊙O的面積；

（3）在（2）的條件下，求HG的長．

Answer 1

【答案】（1）BD與⊙O相切，見解析；（2）π；（3）

【解析】

（1）連接OB，證得∠DBO＝90°，即可得到BD與⊙O相切；

（2）由等腰直角三角形的性質得到CF＝BF，由于DF垂直平分AC，得到AF＝CF＝AB+BF＝1+BF＝BF，根據(jù)勾股定理得到EF的長，根據(jù)圓的面積公式即可得到結論；

（3）根據(jù)等腰直角三角形和角平分線的定義即可得到結論．

解：（1）BD與⊙O相切，

理由：如圖1，連接OB，

∵OB＝OF，

∴∠OBF＝∠OFB，

∵∠ABC＝90°，AD＝CD，

∴BD＝CD，∠EBF＝90°，

∴∠C＝∠DBC，EF為直徑，

∴點O在EF上，

∵∠C＝∠BFE，

∴∠DBC＝∠OBF，

∵∠CBO+∠OBF＝90°，

∴∠DBC+∠CBO＝90°，

∴∠DBO＝90°，

∴BD與⊙O相切；

（2）如圖2，連接CF，HE，

∵∠CDE＝90°，∠ABC＝90°，

∴∠DEC＝∠A，

∵∠CED＝∠FEB，

∴∠FEB＝∠A．

∵AB＝BE，∠ABC＝∠CBF＝90°，

∴△ABC≌△EBF（ASA），

∵BC＝BF，

∴CF＝BF，

∵DF垂直平分AC，

∴AF＝CF＝AB+BF＝1+BF＝BF，

∴BF＝+1，

∴EF＝

∵∠CBF＝90°，

∴EF是⊙O的直徑，

∴⊙O的面積＝（EF）2π＝π＝π；

（3）如圖3，連接AE

∵AB＝BE，∠ABEspan>＝90°，

∴∠AEB＝45°，

∵EA＝EC，

∴∠C＝22.5°，

∴∠H＝∠BEG＝∠CED＝90°﹣22.5°＝67.5°，

∵BH平分∠CBF，

∴∠EBG＝∠HBF＝45°，

∴∠BGE＝∠BFH＝67.5°，

∴BG＝BE＝1，BH＝BF＝1+，

∴HG＝BH﹣BG＝．