Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線分別交x軸、y軸于點(diǎn)B，C，正方形AOCD的頂點(diǎn)D在第二象限內(nèi)，E是BC中點(diǎn)，OF⊥DE于點(diǎn)F，連結(jié)OE，動點(diǎn)P在AO上從點(diǎn)A向終點(diǎn)O勻速運(yùn)動，同時(shí)，動點(diǎn)Q在直線BC上從某點(diǎn)Q1向終點(diǎn)Q2勻速運(yùn)動，它們同時(shí)到達(dá)終點(diǎn)．

（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)和OE的長；

（2）設(shè)點(diǎn)Q2為(m，n)，當(dāng)tan∠EOF時(shí)，求點(diǎn)Q2的坐標(biāo)；

（3）根據(jù)（2）的條件，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到AO中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)Q恰好與點(diǎn)C重合．

①延長AD交直線BC于點(diǎn)Q3，當(dāng)點(diǎn)Q在線段Q2Q3上時(shí)，設(shè)Q3Q＝s，AP＝t，求s關(guān)于t的函數(shù)表達(dá)式．

②當(dāng)PQ與△OEF的一邊平行時(shí)，求所有滿足條件的AP的長．

Answer 1

【答案】（1）（8，0），；（2）（6，1）；（3）①，②的長為或.

【解析】

（1）令y＝0，可得B的坐標(biāo)，利用勾股定理可得BC的長，即可得到OE；

（2）如圖，作輔助線，證明△CDN∽△MEN，得CN＝MN＝1，計(jì)算EN的長，根據(jù)面積法可得OF的長，利用勾股定理得OF的長，由和，可得結(jié)論；

（3）①先設(shè)s關(guān)于t成一次函數(shù)關(guān)系，設(shè)s＝kt＋b，根據(jù)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到AO中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)Q恰好與點(diǎn)C重合，得t＝2時(shí)，CD＝4，DQ3＝2，s＝，根據(jù)Q3（4，6），Q2（6，1），可得t＝4時(shí)，s＝，利用待定系數(shù)法可得s關(guān)于t的函數(shù)表達(dá)式；

②分三種情況：

（i）當(dāng)PQ∥OE時(shí)，根據(jù)，表示BH的長，根據(jù)AB＝12，列方程可得t的值；

（ii）當(dāng)PQ∥OF時(shí)，根據(jù)tan∠HPQ＝tan∠CDN＝，列方程為2t2＝ (7t)，可得t的值．

（iii）由圖形可知PQ不可能與EF平行．

解：（1）令，則，

∴，

∴為.

∵為，

在中，.

又∵為中點(diǎn)，∴.

（2）如圖，作于點(diǎn)，則，

∴，

∴，

∴，

∴.

∵，

∴，

由勾股定理得，

∴，

∴.

∵，

∴，

∴為.

（3）①∵動點(diǎn)同時(shí)作勻速直線運(yùn)動，

∴關(guān)于成一次函數(shù)關(guān)系，設(shè)，

將和代入得，解得，

∴.

②（ⅰ）當(dāng)時(shí)，（如圖），，

作軸于點(diǎn)，則.

∵，

又∵，

∴，

∴，

∴，

∴.

（ⅱ）當(dāng)時(shí)（如圖），過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，由得.

∵,

∴,

∴，

∴.

∵，

∴，

∴，

∴.

（ⅲ）由圖形可知不可能與平行.

綜上所述，當(dāng)與的一邊平行時(shí)，的長為或.