Question

（2013•汕頭）已知二次函數(shù)y=x²-2mx+m²-1．
（1）當(dāng)二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O（0，0）時(shí)，求二次函數(shù)的解析式；
（2）如圖，當(dāng)m=2時(shí)，該拋物線與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D，求C、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）在（2）的條件下，x軸上是否存在一點(diǎn)P，使得PC+PD最短？若P點(diǎn)存在，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若P點(diǎn)不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O（0，0），直接代入求出m的值即可；
（2）根據(jù)m=2，代入求出二次函數(shù)解析式，進(jìn)而利用配方法求出頂點(diǎn)坐標(biāo)以及圖象與y軸交點(diǎn)即可；
（3）根據(jù)當(dāng)P、C、D共線時(shí)PC+PD最短，利用平行線分線段成比例定理得出PO的長(zhǎng)即可得出答案．

解答：解：（1）∵二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O（0，0），
∴代入二次函數(shù)y=x²-2mx+m²-1，得出：m²-1=0，
解得：m=±1，
∴二次函數(shù)的解析式為：y=x²-2x或y=x²+2x；

（2）∵m=2，
∴二次函數(shù)y=x²-2mx+m²-1得：y=x²-4x+3=（x-2）²-1，
∴拋物線的頂點(diǎn)為：D（2，-1），
當(dāng)x=0時(shí)，y=3，
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為：（0，3）；

（3）當(dāng)P、C、D共線時(shí)PC+PD最短，
過(guò)點(diǎn)D作DE⊥y軸于點(diǎn)E，
∵PO∥DE，
∴

PO

DE

=

CO

CE

，
∴

PO

2

=

3

4

，
解得：PO=

3

2

，
∴PC+PD最短時(shí)，P點(diǎn)的坐標(biāo)為：P（

3

2

，0）．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用以及配方法求二次函數(shù)頂點(diǎn)坐標(biāo)以及最短路線問(wèn)題等知識(shí)，根據(jù)數(shù)形結(jié)合得出是解題關(guān)鍵．