【題目】如圖1,圖形ABCD是由兩個(gè)二次函數(shù)y1=kx2+mk<0)與y2=ax2+ba>0)的部分圖象圍成的封閉圖形.已知A(1,0)、B(0,1)、D(0,﹣3).

(1)直接寫出這兩個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式;

(2)判斷圖形ABCD是否存在內(nèi)接正方形(正方形的四個(gè)頂點(diǎn)在圖形ABCD上),并說明理由;

(3)如圖2,連接BC,CD,AD,在坐標(biāo)平面內(nèi),求使得BDCADE相似(其中點(diǎn)C與點(diǎn)E是對(duì)應(yīng)頂點(diǎn))的點(diǎn)E的坐標(biāo)

【答案】(1)y1=﹣x2+1,y2=3x2﹣3;(2)存在,理由見解析;(3)(0,﹣)或(,﹣1)或(1,﹣)或(﹣,﹣2).

【解析】1)利用待定系數(shù)法即可得出結(jié)論;

(2)先確定出MM'=(1-m2)-(3m2-3)=4-4m2,進(jìn)而建立方程2m=4-4m2,即可得出結(jié)論;

(3)先利用勾股定理求出AD=,同理:CD=,BC=,再分兩種情況:

①如圖1,當(dāng)△DBC∽△DAE時(shí),得出,進(jìn)而求出DE=,即可得出E(0,-),

再判斷出△DEF∽△DAO,得出,求出DF=,EF=,再用面積法求出E'M=,即可得出結(jié)論;

②如圖2,當(dāng)△DBC∽△ADE時(shí),得出,求出AE=,

當(dāng)E在直線AD左側(cè)時(shí),先利用勾股定理求出PA=,PO=,進(jìn)而得出PE=,再判斷出,即可得出點(diǎn)E坐標(biāo),當(dāng)E'在直線DA右側(cè)時(shí),即可得出結(jié)論.

1)∵點(diǎn)A(1,0),B(0,1)在二次函數(shù)y1=kx2+m(k<0)的圖象上,

,

,

∴二次函數(shù)解析式為y1=-x2+1,

∵點(diǎn)A(1,0),D(0,-3)在二次函數(shù)y2=ax2+b(a>0)的圖象上,

,

∴二次函數(shù)y2=3x2-3;

(2)設(shè)M(m,-m2+1)為第一象限內(nèi)的圖形ABCD上一點(diǎn),M'(m,3m2-3)為第四象限的圖形上一點(diǎn),

∴MM'=(1-m2)-(3m2-3)=4-4m2

由拋物線的對(duì)稱性知,若有內(nèi)接正方形,

∴2m=4-4m2,

∴m=m=(舍),

∵0<<1,

∴存在內(nèi)接正方形,此時(shí)其邊長為;

(3)在Rt△AOD中,OA=1,OD=3,

∴AD=

同理:CD=,

Rt△BOC中,OB=OC=1,

∴BC=,

①如圖1,當(dāng)△DBC∽△DAE時(shí),

∵∠CDB=∠ADO,

∴在y軸上存在E,由,

,

∴DE=,

∵D(0,-3),

∴E(0,-),

由對(duì)稱性知,在直線DA右側(cè)還存在一點(diǎn)E'使得△DBC∽△DAE',

連接EE'DAF點(diǎn),作E'M⊥ODM,連接E'D,

∵E,E'關(guān)于DA對(duì)稱,

∴DF垂直平分EE',

∴△DEF∽△DAO,

,

,

∴DF=,EF=,

∵SDEE'=DEE'M=EF×DF=,

∴E'M=,

∵DE'=DE=,

Rt△DE'M中,DM=

∴OM=1,

∴E'(,-1),

②如圖2,

當(dāng)△DBC∽△ADE時(shí),有∠BDC=∠DAE,,

∴AE=,

當(dāng)E在直線AD左側(cè)時(shí),設(shè)AEy軸于P,作EQ⊥ACQ,

∵∠BDC=∠DAE=∠ODA,

∴PD=PA,

設(shè)PD=n,

∴PO=3-n,PA=n,

Rt△AOP中,PA2=OA2+OP2,

∴n2=(3-n)2+1,

∴n=,

∴PA=,PO=

∵AE=,

∴PE=

AEQ中,OP∥EQ,

,

∴OQ=,

,

∴QE=2,

∴E(-,-2),

當(dāng)E'在直線DA右側(cè)時(shí),

根據(jù)勾股定理得,AE=,

∴AE'=

∵∠DAE'=∠BDC,∠BDC=∠BDA,

∴∠BDA=∠DAE',

∴AE'∥OD,

∴E'(1,-),

綜上,使得△BDC與△ADE相似(其中點(diǎn)CE是對(duì)應(yīng)頂點(diǎn))的點(diǎn)E的坐標(biāo)有4個(gè),

即:(0,-)或(,-1)或(1,-)或(-,-2).

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,∠AOB30,∠AOB 內(nèi)有一定點(diǎn) P,且 OP12,在 OA 上有一動(dòng)點(diǎn) Q,OB 上有 一動(dòng)點(diǎn) R。若PQR 周長最小,則最小周長是( )

A. 6 B. 12 C. 16 D. 20

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知線段a、b、c滿足a:b:c=3:2:6,且a+2b+c=26.

(1)求a、b、c的值;

(2)若線段x是線段a、b的比例中項(xiàng),求x的值.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,矩形ABCD中,EAD的中點(diǎn),延長CE,BA交于點(diǎn)F,連接ACDF

(1)求證:四邊形ACDF是平行四邊形;

(2)當(dāng)CF平分∠BCD時(shí),寫出BCCD的數(shù)量關(guān)系,并說明理由.

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】請(qǐng)認(rèn)真閱讀下面材料:如果)的b次冪等于N,即有指數(shù)式,那么數(shù)b叫做以為底N的對(duì)數(shù),

記作:對(duì)數(shù)式:

例如:

1)因?yàn)橹笖?shù)式,所以以2為底,4的對(duì)數(shù)是2,對(duì)數(shù)式記作:

2)因?yàn)橹笖?shù)式,所以以4為底,16的對(duì)數(shù)是2,對(duì)數(shù)式記作:

1. 請(qǐng)根據(jù)上面閱讀材料將下列指數(shù)式改為對(duì)數(shù)試:(1 ;(2

2. 將下列對(duì)數(shù)式改為指數(shù)式:(1;(2

3.計(jì)算 :

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,李強(qiáng)在教學(xué)樓的點(diǎn)P處觀察對(duì)面的辦公大樓,為了求得對(duì)面辦公大樓的高度,李強(qiáng)測得辦公大樓頂部點(diǎn)A的仰角為30°,測得辦公大樓底部點(diǎn)B的俯角為37°,已知測量點(diǎn)P到對(duì)面辦公大樓上部AD的距離PM30m,辦公大樓平臺(tái)CD=10m.求辦公大樓的高度(結(jié)果保留整數(shù)).(參考數(shù)據(jù):sin37°≈,tan37°≈,≈1.73)

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】觀察下列等式:

(x-1)(x+1)=x2-1;

(x-1)(x2+x+1)=x3-1

(x-1)(x3+x2+x+1)=x4-1

(x-1)(x4+x3+x2+x+1)=x5-1

……

(1)猜想(x-1)(xn+xn-1+xn-2+…+x+1)=______

運(yùn)用上述規(guī)律,試求:

(2)219+218+217+…+23+22+2+1

(3)52018+52017+52016+…+53+52+5+1

查看答案和解析>>

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】發(fā)現(xiàn)(1)如圖1,把△ABC沿DE折疊,使點(diǎn)A落在點(diǎn)A’處,請(qǐng)你判斷∠1+∠2與∠A有何數(shù)量關(guān)系,直接寫出你的結(jié)論,不必說明理由

思考(2)如圖2,BI平分∠ABC,CI平分∠ACB,把△ABC折疊,使點(diǎn)A與點(diǎn)I重合,若∠1+∠2=100°,求∠BIC的度數(shù);

拓展(3)如圖3,在銳角△ABC中,BFAC于點(diǎn)F,CGAB于點(diǎn)GBF、CG交于點(diǎn)H,把△ABC折疊使點(diǎn)A和點(diǎn)H重合,試探索∠BHC與∠1+∠2的關(guān)系,并證明你的結(jié)論.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案