Question

【題目】如圖（1），OABC是一張放在平面直角坐標系中的矩形紙片，O為坐標原點，點A在x軸的正半軸上，點C在y軸的正半軸上，OA=5，OC=4，在OC邊上取一點D，將將紙片沿AD翻轉(zhuǎn)，使點O落在BC邊上的點E處．

（1）請直接寫出D、E兩點的坐標；

（2）如圖（2），線段AE上有一動點P（不與A，E重合），自點A沿AE方向做勻速運動，運動的速度為每秒1個單位長度，設(shè)運動時間為t秒，過點P作ED的平行線交AD于點M，過點M作AE平行線交DE于點N．求四邊形PMNE的面積S與時間t之間的函數(shù)關(guān)系式；

（3）在（2）的條件下，當t為何值時，以A，M，E為頂點的三角形是等腰三角形？

Answer 1

【答案】（1）（0，）（2）S矩形PMNE= -t2+t（3）t=或t=2時，以A，M，E為頂點的三角形為等腰三角形

【解析】

（1）先根據(jù)勾股定理求出BE的長，進而可得出CE的長，求出E點坐標，再用勾股定理計算出OD即可；
（2）先判斷出△APM∽△AED，表示出PM，再求出確定出極值；
（3）分兩種情況（Ⅰ）若以AE為等腰三角形的底，則ME=MA，利用中位線求出M點坐標，（Ⅱ）若以AE為等腰三角形的腰，則AM=AE=5，利用勾股定理和三角形相似求出即可．

（1）依題意可知，折痕AD是四邊形OAED的對稱軸，

∴在Rt△ABE中，AE=AO=5，AB=4．

BE= ．

∴CE=2．

∴E點坐標為（2，4）．

在Rt△DCE中，DC2+CE2=DE2，

又∵DE=OD．

∴（4﹣OD）2+22=OD2．

解得：OD= ．

∴D點坐標為（0，）．

（2）∵PM∥ED，

∴△APM∽△AED．

∴，

∵AP=t，ED= ，AE=5，

PM= ×=，

∵PE=5﹣t．

∵四邊形PMNE為矩形．

∴S矩形PMNE=PM×PE=×（5﹣t）=-；

（3）（Ⅰ）若以AE為等腰三角形的底，則ME=MA（如圖1）

在Rt△AED中，ME=MA，

∵PM⊥AE，

∴P為AE的中點，

∴t=AP=AE=．

又∵PM∥ED，

∴M為AD的中點．

過點M作MF⊥OA，垂足為F，則MF是△OAD的中位線，

∴MF=OD=，OF=OA=，

∴當t=時，（0＜＜5），△AME為等腰三角形．

（Ⅱ）若以AE為等腰三角形的腰，則AM=AE=5（如圖1）

在Rt△AOD中，AD=．

過點M作MF⊥OA，垂足為F．

∵PM∥ED，

∴△APM∽△AED．

∴

∴t=AP=，

∴PM=t=．

∴t=2時，（0＜2＜5）

綜合（Ⅰ）（Ⅱ）可知，t=或t=2時，以A，M，E為頂點的三角形為等腰三角形，