Question

（2013•陜西）在平面直角坐標系中，一個二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點A（1，0）、B（3，0）兩點．
（1）寫出這個二次函數(shù)圖象的對稱軸；
（2）設這個二次函數(shù)圖象的頂點為D，與y軸交于點C，它的對稱軸與x軸交于點E，連接AC、DE和DB，當△AOC與△DEB相似時，求這個二次函數(shù)的表達式．
[提示：如果一個二次函數(shù)的圖象與x軸的交點為A（x₁，0）、B（x₂，0），那么它的表達式可表示為y=a（x-x₁）（x-x₂）]．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)二次函數(shù)對稱性得出對稱軸即可；
（2）首先求出C，D點坐標，進而得出CO的長，利用當△AOC與△DEB相似時，根據(jù)①假設∠OCA=∠EBD，②假設∠OCA=∠EDB，分別求出即可．

解答：解；（1）∵二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點A（1，0）、B（3，0）兩點，
∴二次函數(shù)圖象的對稱軸為直線x=2；

（2）設二次函數(shù)的表達式為：y=a（x-1）（x-3）（a≠0），
當x=0時，y=3a，當x=2時，y=-a，
∴點C坐標為：（0，3a），頂點D坐標為：（2，-a），
∴OC=|3a|，
又∵A（1，0），E（2，0），
∴AO=1，EB=1，DE=|-a|=|a|，
當△AOC與△DEB相似時，
①假設∠OCA=∠EBD，
可得

AO

DE

=

OC

EB

，
即

1

|a|

=

|3a|

1

，
∴a=

3

3

或a=-

3

3

，
②假設∠OCA=∠EDB，可得

AO

BE

=

OC

ED

，
∴

1

1

=

|3a|

|a|

，此方程無解；，
綜上所述，所得二次函數(shù)的表達式為：
y=

3

3

x²-

4 3

3

x+

3

或y=-

3

3

x²+

4 3

3

x-

3

．

點評：此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應用以及相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，注意分類討論思想的應用是解題關鍵．