【題目】小明在矩形紙片上畫正三角形,他的做法是:①對折矩形紙片ABCD(AB>BC),使ABDC重合,得到折痕EF,把紙片展平;②沿折痕BG折疊紙片,使點(diǎn)C落在EF上的點(diǎn)P處,再折出PB、PC,最后用筆畫出△PBC(1).

(1)求證:圖1中的 PBC是正三角形:

(2)如圖2,小明在矩形紙片HIJK上又畫了一個正三角形IMN,其中IJ=6cm,

HM=JN.

①求證:IH=IJ

②請求出NJ的長;

(3)小明發(fā)現(xiàn):在矩形紙片中,若一邊長為6cm,當(dāng)另一邊的長度a變化時,在矩形紙片上總能畫出最大的正三角形,但位置會有所不同.請根據(jù)小明的發(fā)現(xiàn),畫出不同情形的示意圖(作圖工具不限,能說明問題即可),并直接寫出對應(yīng)的a的取值范圍.

【答案】(1)證明見解析;(2)①證明見解析;②12-6(3)3<a<4,a>4

【解析】1)由折疊的性質(zhì)和垂直平分線的性質(zhì)得出PB=PC,PB=CB,得出PB=PC=CB即可;

(2)①利用“HL”RtIHMRtIJN即可得;②IJ上取一點(diǎn)Q,使QI=QN,由RtIHMRtIJN知∠HIM=JIN=15°,繼而可得∠NQJ=30°,設(shè)NJ=x,則IQ=QN=2x、QJ=x,根據(jù)IJ=IQ+QJ求出x即可得;

(3)由等邊三角形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、勾股定理進(jìn)行計算,畫出圖形即可.

(1)證明:∵①對折矩形紙片ABCD(AB>BC),使ABDC重合,得到折痕EF

PB=PC

∵沿折痕BG折疊紙片,使點(diǎn)C落在EF上的點(diǎn)P

PB=BC

PB=PC=BC

∴△PBC是正三角形:

(2)證明:①如圖

∵矩形AHIJ

∴∠H=J=90°

∵△MNJ是等邊三角形

MI=NI

RtMHIRtJNI

RtMHIRtJNI(HL)

HI=IJ

②在線段IJ上取點(diǎn)Q,使IQ=NQ

RtIHMRtIJN,

∴∠HIM=JIN,

∵∠HIJ=90°、MIN=60°,

∴∠HIM=JIN=15°,

QI=QN知∠JIN=QNI=15°,

∴∠NQJ=30°,

設(shè)NJ=x,則IQ=QN=2x,QJ=x,

IJ=6cm,

2x+x=6,

x=12-6,即NJ=12-6(cm).

(3)分三種情況:

①如圖

設(shè)等邊三角形的邊長為b,則0<b≤6,

tan60°=,

a=,

0<b≤=;

②如圖

當(dāng)DFDC重合時,DF=DE=6,

a=sin60°×DE==,

當(dāng)DEDA重合時,a=

<a<;

③如圖

∵△DEF是等邊三角形

∴∠FDC=30°

DF=

a>

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設(shè)AFMN

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