Question

已知：，PB=4，以AB為一邊作正方形ABCD，使P、D兩點(diǎn)落在直線AB的兩側(cè)．
（1）如圖，當(dāng)∠APB=45°時(shí)，求AB及PD的長(zhǎng)；
（2）當(dāng)∠APB變化，且其它條件不變時(shí)，求PD的最大值，及相應(yīng)∠APB的大小．

Answer 1

解：（1）①如圖，作AE⊥PB于點(diǎn)E， ∵△APE中，∠APE=45°，PA=， ∴AE=PE=×=1， ∵PB=4， ∴BE=PB﹣PE=3， 在Rt△ABE中，∠AEB=90°， ∴AB==． ②如圖，因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形，可將 △PAD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△P'AB， 可得△PAD≌△P'AB，PD=P'B，PA=P'A． ∴∠PAP'=90°，∠APP'=45°，∠P'PB=90° ∴PP′=PA=2， ∴PD=P′B===； （2）如圖所示，將△PAD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90° 得到△P'AB，PD的最大值即為P'B的最大值， ∵△P'PB中，P'B＜PP'+PB，PP′=PA=2，PB=4， 且P、D兩點(diǎn)落在直線AB的兩側(cè)， ∴當(dāng)P'、P、B三點(diǎn)共線時(shí)，P'B取得最大值（如圖） 此時(shí)P'B=PP'+PB=6，即P'B的最大值為6． 此時(shí)∠APB=180°﹣∠APP'=135度．