Question

我市某服裝廠生產(chǎn)的服裝供不應(yīng)求，A車間接到生產(chǎn)一批西服的緊急任務(wù)，要求必須在12天內(nèi)完成．為了加快進度，車間采取工人分批日夜加班，機器滿負(fù)荷運轉(zhuǎn)的生產(chǎn)方式，生產(chǎn)效率得到了提高，每天生產(chǎn)的西服數(shù)量y（套）與時間x（天）的關(guān)系如下表：

時間x（天）	1	2	4	7	…
每天產(chǎn)量y（套）	22	24	28	34	…

平均每套西服的成本z（元）與時間x（天）的關(guān)系如圖：
請解答下列問題．
（1）求每天生產(chǎn)的西服數(shù)量y（套）與x（天）之間的關(guān)系式及成本z（元）與x（天）之間的關(guān)系式．
（2）已知這批西服的訂購價格為每套1400元，設(shè)該車間每天的利潤為W（元），試求出日利潤W（元）與時間x（天）之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出哪一天該車間獲得最大利潤，最大利潤是多少元？
（3）在實際銷售中，廠家決定從第13天起，每天按日最大利潤進行生產(chǎn)并完全售出．生產(chǎn)7天后，由于機器損耗等原因，平均每套西服的成本比日最大利潤時增加0.5a%（a＜50），所以廠家把定購價提高了200元再生產(chǎn)8天，但這8天的日銷量比日最大利潤時的銷量下降了a%，根據(jù)銷售記錄顯示，這8天的銷售利潤的總和與前7天的銷售利潤總和持平，求整數(shù)a．
（

37

≈6.082，

133

≈11.53）

Answer 1

分析：（1）設(shè)y=kx+b．根據(jù)表格信息，利用待定系數(shù)法可求出y與x的函數(shù)關(guān)系式，結(jié)合函數(shù)圖象可得出z與x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）分段討論，①當(dāng)1≤x≤5時，②當(dāng)6＜x≤10時，利用一次函數(shù)及二次函數(shù)的性質(zhì)，分別求出最大值，繼而比較可得出答案．
（3）求出獲得最大利潤時，平均每套西服的成本為600元，銷量為40件，然后根據(jù)這8天的銷售利潤的總和與前7天的銷售利潤總和持平，可得出關(guān)于a的方程，解出即可．

解答：解：（1）由表格知，y是x的一次函數(shù)
設(shè)y=kx+b，

22=k+b 24=2k+b

，
解得：

k=2 b=20

，
則每天生產(chǎn)的西服數(shù)量y（套）與x（天）之間的關(guān)系式：y=2x+20，
由函數(shù)圖象可得：z=

400(1≤x≤5) 40x+200(6≤x≤10)

．

（2）當(dāng)1≤x≤5時，W=2000x+20000，
當(dāng)x=5時，最大是30000元，
當(dāng)6≤x≤10時，W=-80（x-10）²+32000，
當(dāng)x=10時，W最大是32000元，
綜上所述：第10天利潤最大，最大利潤是32000元；

（3）當(dāng)獲得最大利潤時，x=10，此時銷量y=2×10+20=40件，平均每套西服的成本為40×10+200=600元，
由題意得：[1600-600（1+0.5a%）]×40（1-a%）×8=32000×7，
令a%=m，
原方程可化為：3m²-13m+3=0，
解得：m₁=

13+ 133

6

≈

13+11.53

6

≈4.09（不符合題意，舍去），m₂=

13- 133

6

≈

13-11.53

6

≈0.245，
即m=0.245，a取整數(shù)為25．
答：這8天的銷售利潤的總和與前7天的銷售利潤總和持平，整數(shù)a的值為25．

點評：本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，涉及了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、分段函數(shù)及一元二次方程的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是列出函數(shù)關(guān)系式，注意掌握配方法求最值的應(yīng)用．