【題目】(本小題滿分10分)

如圖,在ABCD中,以點(diǎn)A為圓心,AB長為半徑畫弧交AD于點(diǎn)F;再分別以點(diǎn)B、F為圓心,大于BF的相同長為半徑畫弧,兩弧交于點(diǎn)P;連接AP并延長交BC于點(diǎn)E,連接EF,則所得四邊形ABEF是菱形.

(1)根據(jù)以上尺規(guī)作圖的過程,求證四邊形ABEF是菱形;

(2)若菱形ABEF的周長為16,AE=4,求C的大。

【答案】(1)詳見解析;(2)60°.

【解析】

試題分析:(1)由作圖過程可知,AB=AF,AE平分BAD,即可得BAE=EAF.再由四邊形ABCD為平行四邊形,可得BCAD,根據(jù)平行線的性質(zhì)可得AEB=EAF,所以BAE=AEB,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得AB=BE,即可得BE=AF,所以四邊形ABEF為平行四邊形,根據(jù)一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形即可判定四邊形ABEF為菱形;(2)連接BF,已知四邊形ABEF為菱形,根據(jù)菱形的性質(zhì)可得BF與AE互相垂直平分,BAE=FAE,OA=AE=.再由菱形ABEF的周長為16,可得AF=4.所以cosOAF=即可得OAF=30°,所以BAF=60°.再由平行線的性質(zhì)即可得C=BAD=60°.

試題解析:

(1)由作圖過程可知,AB=AF,AE平分BAD.∴∠BAE=EAF.

四邊形ABCD為平行四邊形,BCAD.∴∠AEB=EAF.

∴∠BAE=AEB,AB=BE.BE=AF.四邊形ABEF為平行四邊形.

四邊形ABEF為菱形.

(2)連接BF,

四邊形ABEF為菱形,BF與AE互相垂直平分,BAE=FAE.

OA=AE=菱形ABEF的周長為16,AF=4.

cosOAF=∴∠OAF=30°,∴∠BAF=60°.

四邊形ABCD為平行四邊形,∴∠C=BAD=60°.

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(1)試用數(shù)軸表示出小明家(A)、學(xué)校(B)、書店(C)的位置;

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