Question

如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，分別取各邊的中點A₁，B₁，C₁，得到△A₁B₁C₁，再取△A₁B₁C₁各邊中點A₂，B₂，C₂，得到△A₂B₂C₂，按此作法進行下去，得到△A₃B₃C₃，…，△A_nB_nC_n．
（1）求A₁B₁的長；
（2）求△A₁B₁C₁和△A₂B₂C₂的周長；
（3）寫出△A₈B₈C₈和△A_nB_nC_n．的周長．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)勾股定理可求得AB的長，再根據(jù)三角形中位線定理即可求解；
（2）根據(jù)三角形中位線定理可求得三邊的長，從而不難求得△A₁B₁C₁的周長，同理可求得另一三角形的周長，從而可以發(fā)現(xiàn)規(guī)律；
（3）根據(jù)第二部中總結(jié)的規(guī)律代入求解即可．

解答：解：（1）∵△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6
∴AB=10
∵A₁，B₁，分別是BC，AB的中點
∴A₁B₁=5．

（2）∵AC=8，BC=6，AB=10，
∴A₁B₁=5，A₁C₁=4，C₁B₁=3，
∴△A₁B₁C₁的周長=3+4+5=12，
同理：A₂B₂C₂的周長為6，
∴△A₁B₁C₁和△A₂B₂C₂的周長分別為：12和6．

（3）∵△A₁B₁C₁的周長=

1

2

×△ABC=

1

2

×24=12=

12

21-1

；A₂B₂C₂的周長=

1

4

×24=6=

12

22-1

，
∴△A₈B₈C₈的周長=

12

28-1

=

3

32

，
∴△A_nB_nC_n．的周長=

12

2n-1

，
∴△A₈B₈C₈和△A_nB_nC_n．的周長分別為：

3

32

和

12

2n-1

．

點評：此題主要考查學(xué)生對勾股定理及三角形中位線定理的綜合運用，關(guān)鍵是通過計算發(fā)現(xiàn)存在的規(guī)律．