【題目】在一次課題學(xué)習(xí)活動(dòng)中,老師提出了如下問(wèn)題:如圖,四邊形是正方形,點(diǎn)是邊的中點(diǎn),,且交正方形外角平分線(xiàn)于點(diǎn).請(qǐng)你探究存在怎樣的數(shù)量關(guān)系,并證明你的結(jié)論正確.經(jīng)過(guò)探究,小明得出的結(jié)論是,而要證明結(jié)論,就需要證明所在的兩個(gè)三角形全等,但顯然不全等(一個(gè)是直角三角形,一個(gè)是鈍角三角形),考慮到點(diǎn)是邊的中點(diǎn),小明想到的方法是如圖2,取的中點(diǎn),連接,證明.從而得到.請(qǐng)你參考小明的方法解決下列問(wèn)題.

1)如圖3,若把條件“點(diǎn)是邊的中點(diǎn)”改為“點(diǎn)是邊上的任意一點(diǎn)”,其余條件不變,證明結(jié)論仍然成立;

2)如圖4,若把條件“點(diǎn)是邊的中點(diǎn)”改為:“點(diǎn)是邊延長(zhǎng)線(xiàn)上的一點(diǎn)”,其余條件仍不變,那么結(jié)論是否還成立?若成立,請(qǐng)完成證明過(guò)程,若不成立,請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】1)正確,見(jiàn)解析;(2)正確,見(jiàn)解析

【解析】

1)在AB上取點(diǎn),連接,證明△PAE≌△CEF即可;

2)延長(zhǎng)BA,使=CE,連接,證明△ANE≌△ECF即可.

解:(1)正確.

證明:在AB上取一點(diǎn)M,使AM=EC,連接ME

四邊形是正方形,

BM=BE,

∴∠BME=45°

∴∠AME=135°,

CF是外角平分線(xiàn),

∴∠DCF=45°,

∴∠ECF=135°,

∴∠AME=ECF,

∵∠AEB+BAE=90°,∠AEB+CEF=90°,

∴∠BAE=CEF,

∴△AME≌△ECFASA),

AE=EF

2)正確.

證明:在BA的延長(zhǎng)線(xiàn)上取一點(diǎn)N

使AN=CE,連接NE

BN=BE

∴∠N=NEC=45°,

CF平分∠DCG

∴∠FCE=45°,

∴∠N=ECF

∵四邊形ABCD是正方形,

ADBE

∴∠DAE=BEA,

即∠DAE+90°=BEA+90°,

∴∠NAE=CEF

∴△ANE≌△ECFASA

AE=EF

練習(xí)冊(cè)系列答案
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1)若花園的面積為192m2,求x的值;

2)若在P處有一棵樹(shù)與墻CD,AD的距離分別是15m6m,要將這棵樹(shù)圍在花園內(nèi)(含邊界,不考慮樹(shù)的粗細(xì)),求x取何值時(shí),花園面積S最大,并求出花園面積S的最大值.

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1)如圖1,當(dāng)B點(diǎn)坐標(biāo)為(3,0)時(shí),求m

2)如圖2,當(dāng)△PQB為等腰三角形時(shí),求m

3)如圖3,連接AP,作PE⊥APAB于點(diǎn)E,連接CE,求證:CE是⊙P的切線(xiàn);

4)若在x軸上存在點(diǎn)M8,0),在點(diǎn)P整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,求MQ的最小值.

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已知直線(xiàn)ABCD,點(diǎn)EABCD之間,點(diǎn)PQ分別在直線(xiàn)AB、CD上,連接PE、EQ.

1)如圖1,運(yùn)用上述結(jié)論,探究∠PEQ與∠APE+∠CQE之間的數(shù)量關(guān)系,并說(shuō)明理由;

2)如圖2,PF平分∠BPE,QF平分∠EQD,當(dāng)∠PEQ140°時(shí),求出∠PFQ的度數(shù);

3)如圖3,若點(diǎn)ECD的下方,PF平分∠BPE,QH平分∠EQD,QH的反向延長(zhǎng)線(xiàn)交PF于點(diǎn)F.當(dāng)∠PEQ70°時(shí),請(qǐng)求出∠PFQ的度數(shù).

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)求證:

)若⊙的半徑為, ,求的長(zhǎng).

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