Question

如圖①，在⊙O中AB是直徑，D是上半圓中點(diǎn)，E是下半圓中點(diǎn)，點(diǎn)C是⊙O上一點(diǎn)（不與B、E重合）連接AD、BD、AC、BC．設(shè)BC長(zhǎng)度為n，AC長(zhǎng)度為m．
（1）用含m、n的式子表示四邊形ACBD的面積S；
（2）證明：；
（3）如圖②③，當(dāng)點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)至或上時(shí)，②中結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不成立，請(qǐng)用含m、n的式子表示tan∠DAC．（直接寫(xiě)答案，并選擇其中一種證明）

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角可得∠C=∠D=90°，根據(jù)等弧所對(duì)的弦相等可得AD=BD，從而得到△ABD是等腰直角三角形，利用勾股定理列式求出AB，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出AD，然后根據(jù)四邊形ACBD的面積S=S_△ABC+S_△ABD，列式計(jì)算即可得解；
（2）過(guò)點(diǎn)D作DM⊥AC于M，作DN⊥BC交CB的延長(zhǎng)線于N，可得四邊形DMCN是矩形，根據(jù)同角的余角相等求出∠ADM=∠BDN，然后利用“角角邊”證明△ADM和△BDN全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得AM=BN，DM=DN，從而得到矩形DMCN是正方形，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為x，AM=BN=y，然后用m、n表示a列出方程組求解得到x、y，再根據(jù)銳角的正切值等于對(duì)邊比鄰邊列式計(jì)算即可得解；
（3）圖②，先求出點(diǎn)C關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)C′，連接AC′、BC′，根據(jù)對(duì)角線互相平分且相等的四邊形是矩形可得四邊形AC′C是矩形，過(guò)點(diǎn)D作DM⊥AC′于M，作DN⊥BC′交C′B的延長(zhǎng)線于N，然后與（2）的思路相同求解即可；圖③同理可求．
解答：解：（1）∵AB的⊙O的直徑，
∴∠C=∠D=90°，
∵D是上半圓中點(diǎn)，
∴AD=BD，
∴△ABD是等腰直角三角形，
在Rt△ABC中，AB==，
∴AD=AB=，
∴四邊形ACBD的面積S=S_△ABC+S_△ABD，
=AC•BC+AD²，
=mn+×（m²+n²），
=（m+n）²；

（2）如圖①，過(guò)點(diǎn)D作DM⊥AC于M，作DN⊥BC交CB的延長(zhǎng)線于N，則四邊形DMCN是矩形，
∴∠BDN+∠BDM=90°，
又∵∠ADM+∠BDN=∠ADB=90°，
∴∠ADM=∠BDN，
∵在△ADM和△BDN中，
，
∴△ADM≌△BDN（AAS），
∴AM=BN，DM=DN，
∴矩形DMCN是正方形，
設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為x，AM=BN=y，則
，
解得，
tan∠DAC===；

（3）結(jié)論不成立，點(diǎn)C在上時(shí)，tan∠DAC=；
點(diǎn)C在上時(shí)，tan∠DAC=．
理由如下：點(diǎn)C在上時(shí)，
如圖②，點(diǎn)C′為點(diǎn)C關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，連接AC′、BC′，
則四邊形AC′C是矩形，
∴AC′=BC=n，BC′=AC=m，
過(guò)點(diǎn)D作DM⊥AC′于M，作DN⊥BC′交C′B的延長(zhǎng)線于N，
與（2）同理可求，AM=BN，DM=DN，
∴矩形DMCN是正方形，
設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為x，AM=BN=y，則，
解得，
∵DM⊥AC′，AC′∥BC，
∴DM⊥BC，
∵∠C=90°，
∴AC∥DM，
∴∠DAC=∠ADM，
∴tan∠DAC=tan∠ADM===；
點(diǎn)C在上時(shí)，如圖③，
設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為x，AN=BM=y，則，
解得，
tan∠DAC=tan∠ADN===．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓的綜合題型，主要利用了直徑所對(duì)的圓周角是直角，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，銳角的正切的定義，作輔助線構(gòu)造出全等三角形與正方形是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn)．