【題目】如圖1,關(guān)于x的二次函數(shù)y=﹣x2+bx+c經(jīng)過點A(﹣3,0),點C(0,3),點D為二次函數(shù)的頂點,DE為二次函數(shù)的對稱軸,E在x軸上.
(1)求拋物線的解析式;
(2)DE上是否存在點P到AD的距離與到x軸的距離相等?若存在求出點P,若不存在請說明理由;
(3)如圖2,DE的左側(cè)拋物線上是否存在點F,使2S△FBC=3S△EBC?若存在求出點F的坐標,若不存在請說明理由.
【答案】
(1)
解:(1)∵二次函數(shù)y=﹣x2+bx+c經(jīng)過點A(﹣3,0),點C(0,3),
∴,
解得,
∴拋物線的解析式y(tǒng)=﹣x2﹣2x+3,
(2)
解:存在,
當P在∠DAB的平分線上時,如圖1,作PM⊥AD,
設(shè)P(﹣1,m),則PM=PDsin∠ADE=(4﹣m),PE=m,
∵PM=PE,
∴(4﹣m)=m,m=﹣1,
∴P點坐標為(﹣1,﹣1);
當P在∠DAB的外角平分線上時,如圖2,作PN⊥AD,
設(shè)P(﹣1,n),則PN=PDsin∠ADE=(4﹣n),PE=﹣n,
∵PM=PE,
∴(4﹣n)=﹣n,n=﹣﹣1,
∴P點坐標為(﹣1,﹣﹣1);
綜上可知存在滿足條件的P點,其坐標為(﹣1,﹣1)或(﹣1,﹣﹣1);
(3)
解法1:
∵拋物線的解析式y(tǒng)=﹣x2﹣2x+3,
∴B(1,0),
∴S△EBC=EBOC=3,
∵2S△FBC=3S△EBC,
∴S△FBC=,
過F作FQ⊥x軸于點H,交BC的延長線于Q,過F作FM⊥y軸于點M,如圖3,
∵S△FBC=S△BQH﹣S△BFH﹣S△CFQ=HBHQ﹣BHHF﹣QFFM=BH(HQ﹣HF)﹣QFFM=BHQF﹣QFFM=QF(BH﹣FM)= FQOB=FQ=,
∴FQ=9,
∵BC的解析式為y=﹣3x+3,
設(shè)F(x0,﹣x02﹣2x0+3),
∴﹣3x0+3+x02+2x0﹣3=9,
解得:x0=或(舍去),
∴點F的坐標是(,).
解法2:
設(shè)點F的坐標為(x,﹣x2﹣2x﹣3),過點F作FM垂直y軸于點M,并與BC交于點N,如圖4,
CM=CO﹣MO=3﹣(﹣x2﹣2x﹣3)=x2+2x,
易得MN=CM=x2+x,
∴FN=FM+MN=﹣x+x2+x=x2﹣x,
同解法1可求得S△FBC=,
即S△FBC=S△CFN+S△FNB=FNCM+FNMO=FNCO=(x2﹣x)=,
解得:x0=或(舍去),
∴點F的坐標是(,).
【解析】(1)把A、C兩點坐標代入可求得b、c,可求得拋物線解析式;
(2)當點P在∠DAB的平分線上時,過P作PM⊥AD,設(shè)出P點坐標,可表示出PM、PE,由角平分線的性質(zhì)可得到PM=PE,可求得P點坐標;當
點P在∠DAB外角平分線上時,同理可求得P點坐標;
(3)可先求得△FBC的面積,過F作FQ⊥x軸,交BC的延長線于Q,可求得FQ的長,可設(shè)出F點坐標,表示出B點坐標,從而可表示出FQ的長
可求得F點坐標.
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【題目】某商場銷售一批同型號的彩電,第一個月售出50臺,為了減少庫存,第二個月每臺降價500元將這批彩電全部售出,兩個月的銷售量的比是9:10,已知第一個月的銷售額與第二個月的銷售額相等,這兩個月銷售總額超過40萬元.
(1)求第一個月每臺彩電銷售價格;
(2)這批彩電最少有多少臺?
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【題目】如圖,AB、CD為⊙O的直徑,弦AE∥CD,連接BE交CD于點F,過點E作直線EP與CD的延長線交于點P,使∠PED=∠C.
(1)求證:PE是⊙O的切線;
(2)求證:ED平分∠BEP;
(3)若⊙O的半徑為5,CF=2EF,求PD的長.
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【題目】如圖,某塔觀光層的最外沿點E為蹦極項目的起跳點.已知點E離塔的中軸線AB的距離OE為10米,塔高AB為123米(AB垂直地面BC),在地面C處測得點E的仰角α=45°,從點C沿CB方向前行40米到達D點,在D處測得塔尖A的仰角β=60°,求點E離地面的高度EF.(結(jié)果精確到1米,參考數(shù)據(jù)≈1.4,≈1.7)
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【題目】如圖,已知正方形ABCD的邊長為12,BE=EC,將正方形邊CD沿DE折疊到DF,延長EF交AB于G,連接DG,現(xiàn)在有如下4個結(jié)論:①△ADG≌△FDG;②GB=2AG;③△GDE∽△BEF;④S△BEF=.在以上4個結(jié)論中,正確的有( 。
A.1
B.2
C.3
D.4
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【題目】4件同型號的產(chǎn)品中,有1件不合格品和3件合格品.
(1)從這4件產(chǎn)品中隨機抽取1件進行檢測,求抽到的是不合格品的概率;
(2)從這4件產(chǎn)品中隨機抽取2件進行檢測,求抽到的都是合格品的概率;
(3)在這4件產(chǎn)品中加入x件合格品后,進行如下試驗:隨機抽取1件進行檢測,然后放回,多次重復這個試驗,通過大量重復試驗后發(fā)現(xiàn),抽到合格品的頻率穩(wěn)定在0.95,則可以推算出x的值大約是多少?
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【題目】某中學初二年級抽取部分學生進行跳繩測試.并規(guī)定:每分鐘跳90次以下的為不及格;每分鐘跳90~99次的為及格;每分鐘跳100~109次的為中等;每分鐘跳110~119次的為良好;每分鐘跳120次及以上的為優(yōu)秀.測試結(jié)果整理繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖.請根據(jù)圖中信息,解答下列各題:
(1)參加這次跳繩測試的共有 人;
(2)補全條形統(tǒng)計圖;
(3)在扇形統(tǒng)計圖中,“中等”部分所對應(yīng)的圓心角的度數(shù)是 °;
(4)如果該校初二年級的總?cè)藬?shù)是480人,根據(jù)此統(tǒng)計數(shù)據(jù),請你估算該校初二年級跳繩成績?yōu)椤皟?yōu)秀”的人數(shù)
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【題目】如圖,拋物線y=﹣x2+2x+3與x軸交于A,B兩點,與y軸交于點C,點D為拋物線的頂點,請解決下列問題.
(1)填空:點C的坐標為 點D的坐標為 ;
(2)設(shè)點P的坐標為(a,0),當|PD﹣PC|最大時,求α的值并在圖中標出點P的位置;
(3)在(2)的條件下,將△BCP沿x軸的正方向平移得到△B′C′P′,設(shè)點C對應(yīng)點C′的橫坐標為t(其中0<t<6),在運動過程中△B′C′P′與△BCD重疊部分的面積為S,求S與t之間的關(guān)系式,并直接寫出當t為何值時S最大,最大值為多少?
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