精英家教網(wǎng)如圖，設(shè)P是△ABC內(nèi)任一點(diǎn)，AD，BE，CF是過點(diǎn)P且分別交邊BC，CA，AB于D，E，F(xiàn)．
求證：
PD
AD
+
PE
BE
+
PF
CF
=1．
分析：利用同高不同底的三角形面積比等于底之比，可得S△BDP：S△ABD=DP：AD，S△CDP：S△ACD=DP：AD，
再利用等比性質(zhì)，可得S△BCP：S△ABC=PD：AD①，同理可得，S△ACP：S△ABC=PE：BE②，S△ABP：S△ABC=PF：CF③，①+②+③即可證所求．
解答：證明：∵S△BDP：S△ABD=DP：AD，
S△CDP：S△ACD=DP：AD，
∴（S△BDP+S△CDP）：（S△ABD+S△ACD）=DP：AD，
∴S△BCP：S△ABC=DP：AD①，
同理S△ABP：S△ABC=PF：CF②，
S△ACP：S△ABC=PE：BE③，
①+②+③，得
（S△BCP+S△ABP+S△ACP）：S△ABC=
DP
AD
+
PF
CF
+
PE
BE
，
即
DP
AD
+
PF
CF
+
PE
BE
=1．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角形面積公式、等比性質(zhì)，注意同高不同底的兩個(gè)三角形的面積比等于它們的底之比．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，等邊△ABC的邊長(zhǎng)為2
3
，以BC邊所在直線為x軸，BC邊上的高線AO所在的直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系．
（1）求過A、B、C三點(diǎn)的拋物線的解析式．
（2）如圖，設(shè)⊙P是△ABC的內(nèi)切圓，分別切AB、AC于E、F點(diǎn)，求陰影部分的面積．
（3）點(diǎn)D為y軸上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)以D點(diǎn)為圓心，3為半徑的⊙D與直線AB、AC都相切時(shí)，試判斷⊙D與（2）中⊙P的位置關(guān)系，并簡(jiǎn)要說明理由．
（4）若（2）中⊙P的大小不變，圓心P設(shè)y軸運(yùn)動(dòng)，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，a），則⊙P與直線AB、AC有幾種位置關(guān)系？并寫出相應(yīng)位置關(guān)系時(shí)a的取值范圍．
精英家教網(wǎng)

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖．設(shè)BC是△ABC的最長(zhǎng)邊，在此三角形內(nèi)部任選一點(diǎn)O，AO，BO，CO分別交對(duì)邊于A′，B′，C′．
證明：（1）OA′+OB′+OC′＜BC；
（2）OA′+OB′+OC′≤max{AA′，BB′，CC′}．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，等邊△ABC的邊長(zhǎng)為數(shù)學(xué)公式，以BC邊所在直線為x軸，BC邊上的高線AO所在的直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系．
（1）求過A、B、C三點(diǎn)的拋物線的解析式．
（2）如圖，設(shè)⊙P是△ABC的內(nèi)切圓，分別切AB、AC于E、F點(diǎn)，求陰影部分的面積．
（3）點(diǎn)D為y軸上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)以D點(diǎn)為圓心，3為半徑的⊙D與直線AB、AC都相切時(shí)，試判斷⊙D與（2）中⊙P的位置關(guān)系，并簡(jiǎn)要說明理由．
（4）若（2）中⊙P的大小不變，圓心P設(shè)y軸運(yùn)動(dòng)，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，a），則⊙P與直線AB、AC有幾種位置關(guān)系？并寫出相應(yīng)位置關(guān)系時(shí)a的取值范圍．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源：2001年山東省濟(jì)南市中考數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

如圖，等邊△ABC的邊長(zhǎng)為，以BC邊所在直線為x軸，BC邊上的高線AO所在的直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系．
（1）求過A、B、C三點(diǎn)的拋物線的解析式．
（2）如圖，設(shè)⊙P是△ABC的內(nèi)切圓，分別切AB、AC于E、F點(diǎn)，求陰影部分的面積．
（3）點(diǎn)D為y軸上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)以D點(diǎn)為圓心，3為半徑的⊙D與直線AB、AC都相切時(shí)，試判斷⊙D與（2）中⊙P的位置關(guān)系，并簡(jiǎn)要說明理由．
（4）若（2）中⊙P的大小不變，圓心P設(shè)y軸運(yùn)動(dòng)，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，a），則⊙P與直線AB、AC有幾種位置關(guān)系？并寫出相應(yīng)位置關(guān)系時(shí)a的取值范圍．

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